Решение квадратных уравнений: примеры с объяснениями

Решение уравнений: а) \( 25 = 26x - x^2 \) Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде: \[ x^2 - 26x + 25 = 0 \] Воспользуемся теоремой Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 26 \\ x_1 \cdot x_2 = 25 \end{cases} \] Отсюда: \[ x_1 = 25, \quad x_2 = 1 \] Ответ: 1; 25. б) \( 3x^2 = 10 - 29x \) Приведем к виду \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ 3x^2 + 29x - 10 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961 = 31^2 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-29 + 31}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-29 - 31}{6} = \frac{-60}{6} = -10 \] Ответ: -10; \( \frac{1}{3} \). в) \( y^2 = 4y + 96 \) \[ y^2 - 4y - 96 = 0 \] По теореме Виета: \[ \begin{cases} y_1 + y_2 = 4 \\ y_1 \cdot y_2 = -96 \end{cases} \] Подберем множители числа 96, разность которых равна 4. Это 12 и 8. \[ y_1 = 12, \quad y_2 = -8 \] Ответ: -8; 12. г) \( 3p^2 + 3 = 10p \) \[ 3p^2 - 10p + 3 = 0 \] Найдем дискриминант (используем \( D/4 \), так как коэффициент \( b \) четный): \[ D/4 = (-5)^2 - 3 \cdot 3 = 25 - 9 = 16 = 4^2 \] \[ p_1 = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] \[ p_2 = \frac{5 - 4}{3} = \frac{1}{3} \] Ответ: \( \frac{1}{3} \); 3. д) \( x^2 - 20x = 20x + 100 \) \[ x^2 - 40x - 100 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D/4 = (-20)^2 - 1 \cdot (-100) = 400 + 100 = 500 \] \[ x = 20 \pm \sqrt{500} = 20 \pm 10\sqrt{5} \] Ответ: \( 20 - 10\sqrt{5}; 20 + 10\sqrt{5} \). е) \( 25x^2 - 13x = 10x^2 - 7 \) \[ 15x^2 - 13x + 7 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 7 = 169 - 420 = -251 \] Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет.