Решение задачи теории игр с платежной матрицей

Решение задачи по теории игр. Дана платежная матрица \(C\): \[C = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\] 1. Проверка на наличие седловой точки. Найдем нижнюю цену игры \(\alpha\) (максимин) и верхнюю цену игры \(\beta\) (минимакс): Нижняя цена игры (минимумы по строкам): \[\min(1, 4) = 1\] \[\min(3, 2) = 2\] \[\alpha = \max(1, 2) = 2\] Верхняя цена игры (максимумы по столбцам): \[\max(1, 3) = 3\] \[\max(4, 2) = 4\] \[\beta = \min(3, 4) = 3\] Так как \(\alpha \neq \beta\) (\(2 \neq 3\)), седловой точки нет. Решение следует искать в смешанных стратегиях. 2. Нахождение оптимальной стратегии первого игрока \(P = (p_1, p_2)\). Пусть \(p_1 = x\), тогда \(p_2 = 1 - x\). Составим уравнение, исходя из равенства средних выигрышей: \[1 \cdot x + 3 \cdot (1 - x) = 4 \cdot x + 2 \cdot (1 - x)\] \[x + 3 - 3x = 4x + 2 - 2x\] \[3 - 2x = 2x + 2\] \[4x = 1\] \[x = \frac{1}{4}\] Следовательно, \(p_1 = \frac{1}{4}\), \(p_2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Стратегия первого игрока: \(P = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})\). 3. Нахождение цены игры \(V\). Подставим \(x\) в любое из выражений для выигрыша: \[V = 3 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 3 - 0.5 = 2.5\] 4. Нахождение оптимальной стратегии второго игрока \(Q = (q_1, q_2)\). Пусть \(q_1 = y\), тогда \(q_2 = 1 - y\). Составим уравнение по столбцам: \[1 \cdot y + 4 \cdot (1 - y) = 3 \cdot y + 2 \cdot (1 - y)\] \[y + 4 - 4y = 3y + 2 - 2y\] \[4 - 3y = y + 2\] \[4y = 2\] \[y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\] Следовательно, \(q_1 = \frac{1}{2}\), \(q_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Стратегия второго игрока: \(Q = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\). 5. Геометрическая интерпретация. Для первого игрока строим две прямые на отрезке \([0, 1]\): Прямая 1 (первый столбец): \(L_1(x) = 1 \cdot x + 3 \cdot (1 - x) = 3 - 2x\) Прямая 2 (второй столбец): \(L_2(x) = 4 \cdot x + 2 \cdot (1 - x) = 2x + 2\) Точка пересечения этих прямых дает оптимальное значение \(x = 0.25\) и цену игры \(V = 2.5\). Нижняя огибающая этих прямых определяет гарантированный выигрыш первого игрока, а ее максимум — решение игры. Ответ: Оптимальные смешанные стратегии: \(P = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})\), \(Q = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\). Цена игры: \(V = 2.5\).