Решение задачи 7: анализ функции и производной

Ниже представлены решения задач со второй страницы в удобном для переписывания виде. Задача 7. Для решения проанализируем поведение функции \( y = f(x) \) и её производной на заданных интервалах. Напомним: если функция растет, производная положительна; если убывает — отрицательна. А) Интервал \( (a; b) \): функция сначала растет, а затем начинает убывать. Значит, производная сначала положительна, а в конце отрицательна. Соответствует характеристике 2. Б) Интервал \( (b; c) \): функция на всем интервале убывает. Значит, производная отрицательна на всем интервале. Соответствует характеристике 1. В) Интервал \( (c; d) \): график функции находится ниже оси \( x \) в начале интервала и выше оси \( x \) в конце. Значит, функция отрицательна в начале и положительна в конце. Соответствует характеристике 3. Г) Интервал \( (d; e) \): функция на всем интервале растет. Значит, производная положительна на всем интервале. Соответствует характеристике 4. Ответ: 2134. Задача 8. Проанализируем утверждения на основе данных: мальчиков больше, чем девочек; самое частое имя у мальчиков — Андрей, у девочек — Мария. 1) Девочек с именем Мария больше, чем с именем Светлана. Это верно, так как Мария — самое частое имя среди девочек. 2) Мальчиков с именем Николай больше, чем с именем Аристарх. Мы не знаем распределения имен, кроме самого популярного. Неверно. 3) Хотя бы одного из родившихся мальчиков назвали Андреем. Это верно, так как это самое популярное имя, значит, такие дети точно есть. 4) Мальчиков с именем Андрей больше, чем девочек с именем Мария. Мы знаем, что мальчиков в целом больше, и Андрей — лидер у мальчиков, а Мария — у девочек. Однако точных цифр по именам нет, лидерство в своей группе не гарантирует превосходство над лидером другой группы. Неверно. Ответ: 13. Задача 9. Найдем площадь четырехугольника по клеткам. Удобнее всего воспользоваться методом вычитания площадей простых фигур из площади прямоугольника, в который вписана фигура, или формулой Пика. Воспользуемся методом вычитания: 1) Опишем вокруг фигуры прямоугольник. Его ширина 6 клеток, высота 4 клетки. Площадь \( S_{пр} = 6 \cdot 4 = 24 \). 2) Вычтем площади трех прямоугольных треугольников, которые не входят в фигуру: - Левый треугольник: \( S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \). - Правый треугольник: \( S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5 \). - Нижний треугольник (пустота внутри): \( S_3 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3 \). 3) Вычисляем искомую площадь: \[ S = 24 - (6 + 4,5 + 3) = 24 - 13,5 = 10,5 \] Ответ: 10,5.