Решение задачи из вашего варианта

Ниже представлены решения финальных задач из вашего варианта в удобном для переписывания виде. Задача 18. Решим каждое неравенство: А) \( \frac{1}{(x-2)(x-3)} > 0 \). Произведение в знаменателе положительно, когда оба множителя одного знака. Это интервалы \( (-\infty; 2) \) и \( (3; +\infty) \). Соответствует рисунку 4. Б) \( 3^{-x+3} > 3^1 \Rightarrow -x+3 > 1 \Rightarrow -x > -2 \Rightarrow x < 2 \). Соответствует рисунку 1. В) \( \log_3 x > 1 \Rightarrow \log_3 x > \log_3 3 \Rightarrow x > 3 \). Соответствует рисунку 2. Г) \( \frac{x-3}{x-2} < 0 \). По методу интервалов корни 2 и 3, знак минус на интервале \( (2; 3) \). Соответствует рисунку 3. Ответ: 4123. Задача 19. Условия: число пятизначное, кратно 55 (значит, кратно 5 и 11), \( 50 < \text{произведение цифр} < 75 \). 1) Так как число кратно 5, последняя цифра 0 или 5. Но если будет 0, произведение цифр станет 0, что не подходит. Значит, последняя цифра — 5. 2) Пусть число \( abcde \). Мы знаем \( e=5 \). Произведение \( a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot 5 \) должно быть от 51 до 74. Значит, \( a \cdot b \cdot c \cdot d \) должно быть от 11 до 14. 3) Признак делимости на 11: \( (a+c+5) - (b+d) \) должно делиться на 11. Попробуем минимальное \( a=1 \). Чтобы произведение было 11-14, возьмем цифры 1, 1, 1, 12 (нельзя) или 1, 1, 2, 6 (произведение 12). Проверим число 11165: \( (1+1+5) - (1+6) = 7 - 7 = 0 \) (делится на 11). Проверка произведения цифр: \( 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 = 30 \) (мало, нужно > 50). Попробуем увеличить цифры: 11265 (произведение 60). Проверка на 11: \( (1+2+5) - (1+6) = 8 - 7 = 1 \) (нет). Попробуем 12165: \( (1+1+5) - (2+6) = 7 - 8 = -1 \) (нет). Попробуем 16225: \( (1+2+5) - (6+2) = 8 - 8 = 0 \) (делится на 11). Произведение цифр: \( 1 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 120 \) (много). Попробуем число 11345: \( (1+3+5) - (1+4) = 9 - 5 = 4 \) (нет). Попробуем 14315: \( (1+3+5) - (4+1) = 9 - 5 = 4 \) (нет). Попробуем 11235: \( 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \) (мало). Попробуем 21125: \( (2+1+5) - (1+2) = 5 \) (нет). Попробуем 31135: \( (3+1+5) - (1+3) = 5 \) (нет). Попробуем 11415: \( (1+4+5) - (1+1) = 8 \) (нет). Попробуем 12215: \( (1+2+5) - (2+1) = 5 \) (нет). Попробуем 11515: \( (1+5+5) - (1+1) = 9 \) (нет). Попробуем 11125: \( 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10 \) (мало). Верное число: 13215. Проверка: \( (1+2+5) - (3+1) = 4 \). Ищем дальше: 11615: \( (1+6+5) - (1+1) = 10 \). Рассмотрим 11275: \( (1+2+5) - (1+7) = 0 \). Произведение: \( 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70 \). Это число подходит: кратно 55, произведение цифр 70 (между 50 и 75). Ответ: 11275. Задача 20. Пусть \( S \) — весь путь, \( v \) — скорость первого автомобиля. Время первого: \( t_1 = \frac{S}{v} \). Второй проехал \( \frac{S}{2} \) со скоростью 24 и \( \frac{S}{2} \) со скоростью \( v+16 \). Время второго: \( t_2 = \frac{S}{2 \cdot 24} + \frac{S}{2(v+16)} \). Так как \( t_1 = t_2 \): \[ \frac{S}{v} = \frac{S}{48} + \frac{S}{2(v+16)} \] Разделим на \( S \) и приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{v} = \frac{2(v+16) + 48}{96(v+16)} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{2v + 80}{96v + 1536} \] \[ 96v + 1536 = 2v^2 + 80v \] \[ 2v^2 - 16v - 1536 = 0 \Rightarrow v^2 - 8v - 768 = 0 \] \[ D = 64 - 4 \cdot (-768) = 64 + 3072 = 3136 = 56^2 \] \[ v = \frac{8 + 56}{2} = 32 \text{ км/ч} \] Ответ: 32. Задача 21. Пусть стороны малых прямоугольников \( x_1, x_2 \) и \( y_1, y_2 \). Периметры: 1) \( 2(x_1 + y_1) = 24 \Rightarrow x_1 + y_1 = 12 \) 2) \( 2(x_2 + y_1) = 28 \Rightarrow x_2 + y_1 = 14 \) 3) \( 2(x_2 + y_2) = 16 \Rightarrow x_2 + y_2 = 8 \) 4) Найти \( P = 2(x_1 + y_2) \). Из (2) и (3): \( (x_2 + y_1) - (x_2 + y_2) = 14 - 8 \Rightarrow y_1 - y_2 = 6 \). Из (1): \( x_1 + y_1 = 12 \Rightarrow x_1 = 12 - y_1 \). Подставим в искомое: \[ x_1 + y_2 = (12 - y_1) + y_2 = 12 - (y_1 - y_2) = 12 - 6 = 6 \] Периметр: \( P = 2 \cdot 6 = 12 \). Ответ: 12.