Решение задач: Площадь треугольника через медианы и стороны параллелограмма

Задание №1 Дано: Медианы треугольника \(m_1 = 4\), \(m_2 = 5\). Угол между ними \(\alpha = 30^\circ\). Найти: \(S\) — площадь треугольника. Решение: Существует формула для нахождения площади треугольника через две его медианы и угол между ними: \[S = \frac{2}{3} m_1 m_2 \sin \alpha\] Подставим значения: \[S = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ\] \[S = \frac{2}{3} \cdot 20 \cdot \frac{1}{2}\] \[S = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}\] Ответ: \(S = 6\frac{2}{3}\) (или \(\approx 6,67\)). Задание №2 Дано: Диагонали параллелограмма \(d_1 = 8\), \(d_2 = 15\). Площадь \(S = 60\). Найти: стороны \(AB\) и \(AD\). Решение: 1. Площадь параллелограмма через диагонали выражается формулой: \[S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \gamma\] где \(\gamma\) — угол между диагоналями. \[60 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \cdot \sin \gamma\] \[60 = 60 \cdot \sin \gamma \implies \sin \gamma = 1\] Следовательно, \(\gamma = 90^\circ\). Это означает, что диагонали перпендикулярны, а значит, данный параллелограмм является ромбом. 2. В ромбе все стороны равны: \(AB = AD\). Диагонали точкой пересечения \(M\) делятся пополам: \[AM = \frac{15}{2} = 7,5\] \[BM = \frac{8}{2} = 4\] 3. Из прямоугольного треугольника \(ABM\) по теореме Пифагора: \[AB = \sqrt{AM^2 + BM^2}\] \[AB = \sqrt{7,5^2 + 4^2} = \sqrt{56,25 + 16} = \sqrt{72,25} = 8,5\] Так как это ромб, то \(AD = AB = 8,5\). Ответ: \(AB = 8,5\) и \(AD = 8,5\).