Решение задачи №3: Площадь треугольника ABE

Задание №3 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(\angle A = 30^\circ\). \(AB = 6\). \(AE\) — биссектриса \(\angle A\) (\(E \in BC\)). Найти: \(S_{ABE}\). Решение: 1. Так как \(AE\) — биссектриса угла \(A\), то она делит угол пополам: \[\angle BAE = \angle EAD = \frac{1}{2} \angle A = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ\] 2. В параллелограмме стороны \(BC\) и \(AD\) параллельны. Биссектриса \(AE\) является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы равны: \[\angle BEA = \angle EAD = 15^\circ\] 3. Рассмотрим треугольник \(ABE\). В нем \(\angle BAE = 15^\circ\) и \(\angle BEA = 15^\circ\). Так как углы при основании \(AE\) равны, треугольник \(ABE\) — равнобедренный с основанием \(AE\). Следовательно, \(BE = AB = 6\). 4. Площадь треугольника можно найти по формуле через две стороны и угол между ними: \[S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \cdot \sin(\angle B)\] 5. Найдем угол \(B\). В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\): \[\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\] 6. Вычисляем площадь: \[S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 150^\circ\] Так как \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), получаем: \[S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = \frac{36}{4} = 9\] Ответ: \(S_{ABE} = 9\).