Решение задачи: Подобие треугольников

Контрольная работа по геометрии за II четверть. Вариант 1. № 1. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) \(\angle A = 27^\circ\) \(AB = 3\) м \(BC = 4\) м \(B_1C_1 = 20\) м Найти: \(\angle A_1\), \(A_1B_1\). Решение: 1) Так как треугольники подобны, их соответствующие углы равны. Следовательно: \[\angle A_1 = \angle A = 27^\circ\] 2) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC}\] Подставим известные значения: \[\frac{A_1B_1}{3} = \frac{20}{4}\] \[\frac{A_1B_1}{3} = 5\] \[A_1B_1 = 5 \cdot 3 = 15 \text{ (м)}\] Ответ: \(\angle A_1 = 27^\circ\), \(A_1B_1 = 15\) м. № 2. Дано: \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\) \(AB = 20\) см, \(BC = 3\) см \(A_1B_1 = 4\) см, \(A_1C_1 = 10\) см Найти: \(AC\), \(B_1C_1\). Решение: 1) Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны по двум углам (первый признак подобия). 2) Составим отношение сторон: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\] 3) Найдем коэффициент подобия \(k\): \[k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{20}{4} = 5\] 4) Найдем \(B_1C_1\): \[\frac{BC}{B_1C_1} = 5 \Rightarrow B_1C_1 = \frac{BC}{5} = \frac{3}{5} = 0,6 \text{ (см)}\] 5) Найдем \(AC\): \[\frac{AC}{A_1C_1} = 5 \Rightarrow AC = 5 \cdot A_1C_1 = 5 \cdot 10 = 50 \text{ (см)}\] Ответ: \(AC = 50\) см, \(B_1C_1 = 0,6\) см. № 3. Дано: Точка \(A\) вне окружности. \(AK\) — касательная. \(ABC\) — секущая (\(B\) и \(C\) — точки на окружности). \(AB = 2\), \(AC = 8\). Найти: \(AK\). Решение: По теореме о касательной и секущей: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. \[AK^2 = AB \cdot AC\] Подставим значения: \[AK^2 = 2 \cdot 8 = 16\] \[AK = \sqrt{16} = 4\] Ответ: \(AK = 4\). № 4. Дано: Высота фонаря \(H = 9\) м. Рост человека \(h = 2\) м. Длина тени \(l = 1\) м. Найти: расстояние от человека до фонаря \(x\). Решение: Луч света образует два подобных прямоугольных треугольника (большой треугольник с катетами \(H\) и \((x + l)\), и малый треугольник с катетами \(h\) и \(l\)). Из подобия треугольников: \[\frac{H}{h} = \frac{x + l}{l}\] Подставим значения: \[\frac{9}{2} = \frac{x + 1}{1}\] \[4,5 = x + 1\] \[x = 4,5 - 1 = 3,5 \text{ (м)}\] Ответ: 3,5 м.