Решение Варианта 5

Ниже представлено подробное решение заданий из Варианта 5. Вариант 5 1. Выполните следующие задания: 1.1. Даны функции \( y = f(u) \), \( u = \varphi(x) \). Найдите функцию \( y = f(\varphi(x)) \): \( y = \text{tg } u \); \( u = 5x^7 \). Решение: Для нахождения сложной функции подставим выражение для \( u \) в формулу функции \( y \). \[ y = \text{tg}(5x^7) \] 1.2. Дана сложная функция. Представить ее в виде цепочек основных элементарных функций: \( y = \cos^5(\sqrt{x}) \). Решение: Разложим функцию на составляющие операции: 1) \( u = \sqrt{x} \) — аргумент косинуса; 2) \( v = \cos u \) — тригонометрическая функция; 3) \( y = v^5 \) — степенная функция. Цепочка: \( y = v^5 \), где \( v = \cos u \), \( u = \sqrt{x} \). 2. Вычислить пределы: 2.1. \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x^2 - 3}{4x^3 - 6x + 3} \) Решение: Разделим числитель и знаменатель на \( x^3 \) (старшую степень): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{2x^2}{x^3} - \frac{3}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3} - \frac{6x}{x^3} + \frac{3}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{x^3}}{4 - \frac{6}{x^2} + \frac{3}{x^3}} = \frac{1 - 0 - 0}{4 - 0 + 0} = \frac{1}{4} \] 2.2. \( \lim_{x \to -3} \frac{\sqrt{x+10} - \sqrt{4-x}}{2x^2 - x - 21} \) Решение: При \( x = -3 \) получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \[ \lim_{x \to -3} \frac{(\sqrt{x+10} - \sqrt{4-x})(\sqrt{x+10} + \sqrt{4-x})}{(2x^2 - x - 21)(\sqrt{x+10} + \sqrt{4-x})} = \lim_{x \to -3} \frac{(x+10) - (4-x)}{(x+3)(2x-7)(\sqrt{x+10} + \sqrt{4-x})} \] \[ = \lim_{x \to -3} \frac{2x+6}{(x+3)(2x-7)(\sqrt{x+10} + \sqrt{4-x})} = \lim_{x \to -3} \frac{2(x+3)}{(x+3)(2x-7)(\sqrt{x+10} + \sqrt{4-x})} \] \[ = \frac{2}{(2(-3)-7)(\sqrt{7} + \sqrt{7})} = \frac{2}{-13 \cdot 2\sqrt{7}} = -\frac{1}{13\sqrt{7}} \] 2.3. \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \) Решение: Разложим на множители: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-1}{x+3} = \frac{3-1}{3+3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] 2.4. \( \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 - x + 1}) \) Решение: Умножим и разделим на сопряженное: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(x - \sqrt{x^2 - x + 1})(x + \sqrt{x^2 - x + 1})}{x + \sqrt{x^2 - x + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - (x^2 - x + 1)}{x + \sqrt{x^2 - x + 1}} \] \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1}{x + \sqrt{x^2 - x + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \] 2.5. \( \lim_{x \to 3} \left( \frac{1}{x-3} - \frac{2}{x^2 - 4x + 3} \right) \) Решение: Приведем к общему знаменателю: \( x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) \). \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x-1) - 2}{(x-3)(x-1)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(x-1)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2} \] 2.6. \( \lim_{x \to \infty} (5 - \frac{3x-4}{x+2}) \) Решение: \[ \lim_{x \to \infty} 5 - \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 5 - 3 = 2 \] 2.7. \( \lim_{x \to 0} x \text{ ctg } 5x \) Решение: Используем первый замечательный предел \( \lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1 \): \[ \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \cos 5x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \cos 5x \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} = 1 \cdot \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} \] 2.8. \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x} \right)^{5x+3} \) Решение: Используем второй замечательный предел \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \): \[ \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{4}{x} \right)^{\frac{x}{4}} \right]^{\frac{4}{x} \cdot (5x+3)} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{20x + 12}{x}} = e^{20} \] 3. Исследовать функцию на непрерывность: 3.1. \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x \in (-\infty; 0) \\ 3x, & x \in [0; +\infty) \end{cases} \) Решение: Точка подозрения на разрыв — \( x = 0 \). 1) \( f(0) = 3 \cdot 0 = 0 \). 2) Левосторонний предел: \( \lim_{x \to 0-0} \frac{1}{x} = -\infty \). 3) Правосторонний предел: \( \lim_{x \to 0+0} 3x = 0 \). Так как левосторонний предел бесконечен, в точке \( x = 0 \) наблюдается разрыв второго рода. На интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \) функция непрерывна как элементарная.