Решение задачи: Математическое ожидание, Дисперсия и СКО

Задача 1. Дано распределение случайной величины X: X: -4; -3; 1; 5 p: 0,15; 0,34; 0,28; 0,23 1) Математическое ожидание \( M(X) \): \[ M(X) = \sum x_i p_i = (-4) \cdot 0,15 + (-3) \cdot 0,34 + 1 \cdot 0,28 + 5 \cdot 0,23 \] \[ M(X) = -0,6 - 1,02 + 0,28 + 1,15 = -0,19 \] 2) Дисперсия \( D(X) \): Сначала найдем \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (-4)^2 \cdot 0,15 + (-3)^2 \cdot 0,34 + 1^2 \cdot 0,28 + 5^2 \cdot 0,23 \] \[ M(X^2) = 16 \cdot 0,15 + 9 \cdot 0,34 + 1 \cdot 0,28 + 25 \cdot 0,23 \] \[ M(X^2) = 2,4 + 3,06 + 0,28 + 5,75 = 11,49 \] \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 11,49 - (-0,19)^2 = 11,49 - 0,0361 = 11,4539 \] Округляем до сотых: \( D(X) \approx 11,45 \). 3) Среднее квадратичное отклонение \( \sigma(X) \): \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{11,4539} \approx 3,384 \dots \] Округляем до сотых: \( \sigma(X) \approx 3,38 \). Ответ: \( M(X) = -0,19 \); \( D(X) \approx 11,45 \); \( \sigma(X) \approx 3,38 \). Задача 2. Пусть событие А1 — выигрыш белыми (\( P(A1) = 0,52 \)), событие А2 — выигрыш черными (\( P(A2) = 0,3 \)). Так как во второй партии меняют цвет, шахматист А сыграет одну партию белыми и одну черными. Вероятность того, что он выиграет оба раза (события независимы): \[ P = P(A1) \cdot P(A2) = 0,52 \cdot 0,3 = 0,156 \] Ответ: 0,156. Задача 3. Вероятность того, что батарейка бракованная \( p = 0,06 \). Вероятность того, что батарейка исправна: \( q = 1 - 0,06 = 0,94 \). Вероятность того, что обе батарейки в упаковке исправны: \[ P = q \cdot q = 0,94 \cdot 0,94 = 0,8836 \] Ответ: 0,8836. Задача 4. Пусть событие А — чайник прослужит больше года (\( P(A) = 0,93 \)), событие B — чайник прослужит больше двух лет (\( P(B) = 0,87 \)). Событие B является подмножеством события A. Вероятность того, что чайник прослужит от года до двух лет, равна разности вероятностей: \[ P = P(A) - P(B) = 0,93 - 0,87 = 0,06 \] Ответ: 0,06. Задача 5. Вероятность попадания \( p = 0,8 \), вероятность промаха \( q = 1 - 0,8 = 0,2 \). Нам нужно найти вероятность последовательности: Попал, Попал, Попал, Промахнулся, Промахнулся. \[ P = p \cdot p \cdot p \cdot q \cdot q = 0,8^3 \cdot 0,2^2 \] \[ P = 0,512 \cdot 0,04 = 0,02048 \] Округляем до сотых: \( P \approx 0,02 \). Ответ: 0,02. Задача 6. Пусть первая девочка садится на любое место. Остается 8 свободных мест. Чтобы девочки не сидели рядом, вторая девочка не должна занять 2 места рядом с первой (слева и справа). Количество благоприятных мест для второй девочки: \( 8 - 2 = 6 \). Общее количество доступных мест для второй девочки: 8. Вероятность того, что они не будут сидеть рядом: \[ P = \frac{6}{8} = 0,75 \] Ответ: 0,75.