Решение показательных уравнений и неравенств

Контрольная работа по теме: Показательные уравнения и неравенства. 1. Решите уравнение: 1) \( 3^{2-x} = 27 \) Представим 27 как степень с основанием 3: \( 3^{2-x} = 3^3 \) Так как основания равны, приравниваем показатели: \( 2 - x = 3 \) \( -x = 3 - 2 \) \( -x = 1 \) \( x = -1 \) Ответ: -1. 2) \( 3^{x+2} - 5 \cdot 3^x = 36 \) Используем свойство степени \( a^{n+m} = a^n \cdot a^m \): \( 3^x \cdot 3^2 - 5 \cdot 3^x = 36 \) \( 9 \cdot 3^x - 5 \cdot 3^x = 36 \) Вынесем \( 3^x \) за скобки: \( 3^x (9 - 5) = 36 \) \( 4 \cdot 3^x = 36 \) Разделим обе части на 4: \( 3^x = 9 \) \( 3^x = 3^2 \) \( x = 2 \) Ответ: 2. 3) \( 4 \cdot (\frac{1}{16})^x - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0 \) Заметим, что \( \frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^2 \). Уравнение примет вид: \( 4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2 - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0 \) Пусть \( (\frac{1}{4})^x = t \), где \( t > 0 \). \( 4t^2 - 17t + 4 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2 \) \( t_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4 \) \( t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \) Вернемся к замене: а) \( (\frac{1}{4})^x = 4 \Rightarrow 4^{-x} = 4^1 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1 \) б) \( (\frac{1}{4})^x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 1 \) Ответ: -1; 1. 2. Решите неравенство: 1) \( 5^{4x+2} \geq 125 \) \( 5^{4x+2} \geq 5^3 \) Так как основание \( 5 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \( 4x + 2 \geq 3 \) \( 4x \geq 1 \) \( x \geq 0,25 \) Ответ: \( [0,25; +\infty) \). 2) \( 0,01 < 10^{2-x} < 10000 \) Представим границы в виде степеней числа 10: \( 10^{-2} < 10^{2-x} < 10^4 \) Так как основание \( 10 > 1 \), переходим к показателям: \( -2 < 2 - x < 4 \) Вычтем 2 из всех частей: \( -4 < -x < 2 \) Умножим на -1, меняя знаки неравенства: \( 4 > x > -2 \) или \( -2 < x < 4 \) Ответ: \( (-2; 4) \). 3. Решите систему уравнений: В задании на фото видна только часть системы: \( 3^{x+2y} = 81 \). Обычно в таких задачах есть второе уравнение. Если рассматривать только это уравнение: \( 3^{x+2y} = 3^4 \) \( x + 2y = 4 \) Это уравнение прямой. Для нахождения конкретных значений \( x \) и \( y \) необходимо второе уравнение из системы, которое не попало в кадр. Если же требуется выразить одну переменную через другую: \( x = 4 - 2y \)