Решение контрольной работы №2 по алгебре: Алгебраические дроби, Вариант 1

Контрольная работа №2 «Алгебраические дроби» Вариант 1 1. Найдите значение дроби \( \frac{2}{5x + y^2} \) при \( x = -1, y = -3 \). Решение: Подставим значения переменных в выражение: \[ \frac{2}{5 \cdot (-1) + (-3)^2} = \frac{2}{-5 + 9} = \frac{2}{4} = 0,5 \] Ответ: 0,5. 2. Упростите выражение \( \frac{x^2 + 3xy}{x - 2y} - \frac{7xy - 4y^2}{x - 2y} \). Решение: Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители: \[ \frac{x^2 + 3xy - (7xy - 4y^2)}{x - 2y} = \frac{x^2 + 3xy - 7xy + 4y^2}{x - 2y} = \frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x - 2y} \] Заметим в числителе формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \[ \frac{(x - 2y)^2}{x - 2y} = x - 2y \] Ответ: \( x - 2y \). 3. Представьте в виде дроби \( \frac{12b^2}{25a^3} \cdot \frac{15a}{32b} \). Решение: Перемножим дроби и сократим общие множители: \[ \frac{12b^2 \cdot 15a}{25a^3 \cdot 32b} = \frac{3b \cdot 3}{5a^2 \cdot 8} = \frac{9b}{40a^2} \] Ответ: \( \frac{9b}{40a^2} \). 4. Упростите выражение \( \left( \frac{3x^2}{4y^3} \right)^5 \). Решение: При возведении дроби в степень возводится и числитель, и знаменатель: \[ \frac{(3x^2)^5}{(4y^3)^5} = \frac{3^5 \cdot (x^2)^5}{4^5 \cdot (y^3)^5} = \frac{243x^{10}}{1024y^{15}} \] Ответ: \( \frac{243x^{10}}{1024y^{15}} \). 5. Представьте в виде дроби \( \frac{35c}{27p} : \frac{7y}{9k} \). Решение: Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей: \[ \frac{35c}{27p} \cdot \frac{9k}{7y} = \frac{35c \cdot 9k}{27p \cdot 7y} = \frac{5c \cdot k}{3p \cdot y} = \frac{5ck}{3py} \] Ответ: \( \frac{5ck}{3py} \). 6. Упростите выражение \( \frac{x^3}{x^2 - 4} + \frac{x}{2 - x} - \frac{2}{x + 2} - x + 4 \). Решение: Приведем к общему знаменателю \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \). Учтем, что \( 2 - x = -(x - 2) \): \[ \frac{x^3}{(x-2)(x+2)} - \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2} - (x-4) \] \[ \frac{x^3 - x(x+2) - 2(x-2) - (x-4)(x^2-4)}{(x-2)(x+2)} \] \[ \frac{x^3 - x^2 - 2x - 2x + 4 - (x^3 - 4x - 4x^2 + 16)}{x^2 - 4} \] \[ \frac{x^3 - x^2 - 4x + 4 - x^3 + 4x + 4x^2 - 16}{x^2 - 4} = \frac{3x^2 - 12}{x^2 - 4} \] \[ \frac{3(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = 3 \] Ответ: 3. 7. Упростите выражение \( \frac{y^2 - 9y}{y + 7} \cdot \frac{2y + 14}{y^2 + 6y + 9} : \frac{y^2 - 3y}{3 + y} \). Решение: \[ \frac{y(y - 9)}{y + 7} \cdot \frac{2(y + 7)}{(y + 3)^2} \cdot \frac{y + 3}{y(y - 3)} \] Сокращаем \( y \), \( (y + 7) \) и \( (y + 3) \): \[ \frac{2(y - 9)}{(y + 3)(y - 3)} = \frac{2(y - 9)}{y^2 - 9} \] Ответ: \( \frac{2y - 18}{y^2 - 9} \). 8. Упростите выражение \( \left( \frac{5x^3}{2yc} \right)^3 : \left( -\frac{15xc^2}{8y^5} \right)^2 \cdot \left( \frac{3c^2}{2y} \right)^5 \) и найдите его значение при \( x = \frac{1}{9}, y = \frac{1}{10}, c = \frac{4}{5} \). Решение: Сначала упростим степени: \[ \frac{125x^9}{8y^3c^3} : \frac{225x^2c^4}{64y^{10}} \cdot \frac{243c^{10}}{32y^5} \] \[ \frac{125x^9}{8y^3c^3} \cdot \frac{64y^{10}}{225x^2c^4} \cdot \frac{243c^{10}}{32y^5} \] Сокращаем числа: \( \frac{125 \cdot 64 \cdot 243}{8 \cdot 225 \cdot 32} = \frac{5 \cdot 2 \cdot 27}{1 \cdot 9 \cdot 1} = \frac{270}{9} = 30 \). Сокращаем переменные: \( \frac{x^9 \cdot y^{10} \cdot c^{10}}{y^3 \cdot c^3 \cdot x^2 \cdot c^4 \cdot y^5} = x^7 y^2 c^3 \). Итоговое выражение: \( 30x^7 y^2 c^3 \). Подставим значения: \[ 30 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^7 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \] (Примечание: в школьных задачах такого уровня обычно получается более простое число, проверьте условие степеней в оригинале, но по фото расчет такой).