Решение контрольной работы: Показательные уравнения и неравенства

Контрольная работа по теме: Показательные уравнения и неравенства. 1. Решите уравнения: 1) \( 3^{1-2x} = 1 \) Решение: Представим единицу как \( 3^0 \): \( 3^{1-2x} = 3^0 \) Так как основания равны, приравниваем показатели: \( 1 - 2x = 0 \) \( 2x = 1 \) \( x = 0,5 \) Ответ: \( 0,5 \). 2) \( 7^x - (\frac{1}{7})^{1-x} = 6 \) Решение: Преобразуем дробь: \( (\frac{1}{7})^{1-x} = (7^{-1})^{1-x} = 7^{x-1} \). Уравнение примет вид: \( 7^x - 7^{x-1} = 6 \) Вынесем \( 7^{x-1} \) за скобки: \( 7^{x-1} \cdot (7^1 - 1) = 6 \) \( 7^{x-1} \cdot 6 = 6 \) Разделим обе части на 6: \( 7^{x-1} = 1 \) \( 7^{x-1} = 7^0 \) \( x - 1 = 0 \) \( x = 1 \) Ответ: \( 1 \). 3) \( 2^{2x+1} + 7 \cdot 2^x - 4 = 0 \) Решение: Разложим первое слагаемое: \( 2 \cdot (2^x)^2 + 7 \cdot 2^x - 4 = 0 \). Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). \( 2t^2 + 7t - 4 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \) \( t_1 = \frac{-7 + 9}{4} = 0,5 \) \( t_2 = \frac{-7 - 9}{4} = -4 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)) Вернемся к замене: \( 2^x = 0,5 \) \( 2^x = 2^{-1} \) \( x = -1 \) Ответ: \( -1 \). 2. Решите неравенство: 1) \( (\frac{5}{3})^{3x-8} < (\frac{25}{9})^{x-3} \) Решение: Приведем к основанию \( \frac{5}{3} \): \( (\frac{5}{3})^{3x-8} < ((\frac{5}{3})^2)^{x-3} \) \( (\frac{5}{3})^{3x-8} < (\frac{5}{3})^{2x-6} \) Так как основание \( \frac{5}{3} > 1 \), знак неравенства сохраняется: \( 3x - 8 < 2x - 6 \) \( 3x - 2x < 8 - 6 \) \( x < 2 \) Ответ: \( (-\infty; 2) \). 2) \( 1 \le 6^{1-x} \le 216 \) Решение: Представим числа в виде степеней с основанием 6: \( 6^0 \le 6^{1-x} \le 6^3 \) Так как основание \( 6 > 1 \), переходим к показателям: \( 0 \le 1 - x \le 3 \) Вычтем 1 из всех частей: \( -1 \le -x \le 2 \) Умножим на -1, меняя знаки неравенства: \( 1 \ge x \ge -2 \) или \( -2 \le x \le 1 \) Ответ: \( [-2; 1] \). 3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 27^x = 9^y \\ 81^x = 3^{y+1} \end{cases} \] Решение: Приведем все к основанию 3: \[ \begin{cases} (3^3)^x = (3^2)^y \\ (3^4)^x = 3^{y+1} \end{cases} \] \[ \begin{cases} 3^{3x} = 3^{2y} \\ 3^{4x} = 3^{y+1} \end{cases} \] Перейдем к системе линейных уравнений: \[ \begin{cases} 3x = 2y \\ 4x = y + 1 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 4x - 1 \) Подставим в первое уравнение: \( 3x = 2(4x - 1) \) \( 3x = 8x - 2 \) \( 5x = 2 \) \( x = 0,4 \) Найдем \( y \): \( y = 4 \cdot 0,4 - 1 = 1,6 - 1 = 0,6 \) Ответ: \( (0,4; 0,6) \).