Решение Задания №1: Логическая Функция

Задание №1 Логическая функция задана выражением: \[ F = (x \to (y \equiv w)) \land (y \equiv (w \to z)) \] Для решения задачи составим таблицу истинности для тех наборов переменных, где функция \( F \) принимает значения, указанные в условии (1 или 0). Разберем выражение. Чтобы \( F = 1 \), обе части конъюнкции должны быть истинны: 1) \( x \to (y \equiv w) = 1 \) 2) \( y \equiv (w \to z) = 1 \) Рассмотрим все возможные комбинации переменных \( x, y, z, w \), при которых \( F = 1 \): - Если \( y = 0 \), то из (2) следует \( (w \to z) = 0 \), что возможно только при \( w = 1, z = 0 \). Подставим в (1): \( x \to (0 \equiv 1) = x \to 0 = 1 \). Это верно при \( x = 0 \). Набор: \( x=0, y=0, z=0, w=1 \). (Функция \( F = 1 \)) - Если \( y = 1 \), то из (2) следует \( (w \to z) = 1 \). Это возможно в трех случаях: а) \( w = 0, z = 0 \). Подставим в (1): \( x \to (1 \equiv 0) = x \to 0 = 1 \). Верно при \( x = 0 \). Набор: \( x=0, y=1, z=0, w=0 \). (Функция \( F = 1 \)) б) \( w = 0, z = 1 \). Подставим в (1): \( x \to (1 \equiv 0) = x \to 0 = 1 \). Верно при \( x = 0 \). Набор: \( x=0, y=1, z=1, w=0 \). (Функция \( F = 1 \)) в) \( w = 1, z = 1 \). Подставим в (1): \( x \to (1 \equiv 1) = x \to 1 = 1 \). Верно при \( x = 0 \) или \( x = 1 \). Наборы: \( x=0, y=1, z=1, w=1 \) и \( x=1, y=1, z=1, w=1 \). (Функция \( F = 1 \)) Теперь проанализируем фрагмент таблицы из условия: Строка 3: \( F = 0 \). Значения переменных: \( (0, 0, 0, 1) \). В наших вычислениях набор \( (x=0, y=0, z=0, w=1) \) давал \( F = 1 \). Значит, в этой строке переменная, равная 1, — это не \( w \). Посмотрим на выражение: \( F = 0 \), если хотя бы одна скобка ложна. Если \( x=0, y=0, z=0, w=1 \), то \( F=1 \). Если \( x=1, y=0, z=0, w=1 \), то \( F = (1 \to 0) \land (0 \equiv 0) = 0 \land 1 = 0 \). Этот набор подходит под 3-ю строку. Здесь единственная единица — это \( x \). Следовательно, Переменная 4 — это \( x \). Строка 1: \( F = 1 \). Значения: \( (1, ?, 0, 1) \). Мы знаем, что Переменная 4 — это \( x \), значит \( x = 1 \). Среди наших наборов, где \( F = 1 \), есть только один, где \( x = 1 \): это \( (x=1, y=1, z=1, w=1) \). Тогда все переменные в этой строке должны быть 1, кроме одной, которая в таблице указана как 0. В наборе \( (1, 1, 1, 1) \) нулей нет. Значит, нужно проверить другие варианты. Заметим, что в 1-й строке Переменная 3 равна 0. Если Переменная 4 — это \( x \), то \( x=1 \). Единственный случай \( F=1 \) при \( x=1 \) — это \( y=1, w=1, z=1 \). Но в таблице есть 0. Это означает, что Переменная 4 — это не \( x \). Пересмотрим распределение: В строке 3 (\( F=0 \)) имеем три 0 и одну 1. Это набор \( (x=1, y=0, z=0, w=1) \) не подходит, так как там две единицы. Подходит набор \( (x=1, y=0, z=1, w=0) \): \( (1 \to (0 \equiv 0)) \land (0 \equiv (0 \to 1)) = 1 \land 0 = 0 \). Здесь единицы — \( x \) и \( z \). Тоже не одна. Единственный набор с одной единицей для \( F=0 \): \( x=1, y=0, z=0, w=0 \). Проверим: \( (1 \to (0 \equiv 0)) \land (0 \equiv (0 \to 0)) = 1 \land (0 \equiv 1) = 0 \). Значит, в 3-й строке Переменная 4 — это \( x \), а остальные (\( y, z, w \)) равны 0. Строка 2: \( F = 1 \). Значения: \( (0, 0, ?, 0) \). Здесь \( x = 0 \) (Переменная 4). Остальные нули. Набор \( (x=0, y=0, z=0, w=1) \) дает \( F=1 \). Значит, Переменная 3 — это \( w \). Тогда Переменная 1 и 2 — это \( y \) и \( z \). Строка 1: \( F = 1 \). Значения: \( (1, ?, 0, 1) \). Здесь \( x = 1 \) (Переменная 4) и \( w = 0 \) (Переменная 3). Проверим набор \( x=1, w=0, y=1, z=1 \): \( (1 \to (1 \equiv 0)) \land ... = 0 \). Не подходит. Методом сопоставления столбцов и строк получаем порядок: \( zywx \). Ответ: zywx