Решение контрольной работы: Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей

Контрольная работа по теме «Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» Вариант 1 № 1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. № 2. Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. № 3. Дано: \( AB = 9 \) см \( AC : CC_1 = 3 : 4 \) \( BB_1 \parallel CC_1 \) Найти: \( BB_1 \) Решение: 1. Рассмотрим треугольники \( ACC_1 \) и \( ABB_1 \). 2. Так как \( CC_1 \parallel BB_1 \), то данные треугольники подобны по двум углам (\( \angle A \) — общий, \( \angle AC_1C = \angle AB_1B \) как соответственные при параллельных прямых). 3. Из подобия треугольников следует отношение сторон: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} \] 4. Из условия \( AC : CC_1 = 3 : 4 \) выразим \( CC_1 \): \[ CC_1 = \frac{4}{3} AC \] 5. Подставим в пропорцию: \[ \frac{AC}{9} = \frac{\frac{4}{3} AC}{BB_1} \] 6. Сократим на \( AC \) и найдем \( BB_1 \): \[ BB_1 = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12 \text{ (см)} \] Ответ: 12 см. № 4. Дано: \( l_1 = 10 \) см, \( l_2 = 17 \) см \( x_2 = x_1 + 9 \) Найти: \( x_1, x_2 \) Решение: Пусть \( h \) — перпендикуляр из точки к плоскости, \( x_1 \) и \( x_2 \) — проекции наклонных. По теореме Пифагора: \[ h^2 = l_1^2 - x_1^2 \] \[ h^2 = l_2^2 - x_2^2 \] Приравняем выражения: \[ 10^2 - x_1^2 = 17^2 - (x_1 + 9)^2 \] \[ 100 - x_1^2 = 289 - (x_1^2 + 18x_1 + 81) \] \[ 100 - x_1^2 = 289 - x_1^2 - 18x_1 - 81 \] \[ 18x_1 = 289 - 81 - 100 \] \[ 18x_1 = 108 \] \[ x_1 = 6 \text{ (см)} \] Тогда вторая проекция: \[ x_2 = 6 + 9 = 15 \text{ (см)} \] Ответ: 6 см и 15 см. № 5. Дано: \( L = 5 \) м (длина перекладины) \( h_1 = 3 \) м, \( h_2 = 6 \) м (высоты столбов) Найти: \( d \) (расстояние между основаниями) Решение: Данная фигура представляет собой прямоугольную трапецию, где основания — это высоты столбов, а расстояние между ними — высота трапеции. Проведем прямую, параллельную земле, из вершины меньшего столба к большему. Получим прямоугольный треугольник, где: Гипотенуза — перекладина \( L = 5 \) м. Один катет — разность высот столбов: \( \Delta h = 6 - 3 = 3 \) м. Второй катет — искомое расстояние \( d \). По теореме Пифагора: \[ d^2 = L^2 - (\Delta h)^2 \] \[ d^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \] \[ d = \sqrt{16} = 4 \text{ (м)} \] Ответ: 4 м.