Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 2x - y + 3z = 3 \\ x + 3y - z = 0 \\ 5x + 2y + z = -1 \end{cases} \] 1. Вычислим главный определитель системы \( \Delta \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta = 2 \cdot (3 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - (-1) \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 5) + 3 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 5) \] \[ \Delta = 2 \cdot (3 + 2) + 1 \cdot (1 + 5) + 3 \cdot (2 - 15) \] \[ \Delta = 2 \cdot 5 + 1 \cdot 6 + 3 \cdot (-13) = 10 + 6 - 39 = -23 \] 2. Вычислим вспомогательный определитель \( \Delta_x \), заменив первый столбец на свободные члены: \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_x = 3 \cdot (3 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - (-1) \cdot (0 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) + 3 \cdot (0 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) \] \[ \Delta_x = 3 \cdot 5 + 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 = 15 - 1 + 9 = 23 \] 3. Вычислим вспомогательный определитель \( \Delta_y \), заменив второй столбец: \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_y = 2 \cdot (0 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) - 3 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 5) + 3 \cdot (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 5) \] \[ \Delta_y = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot (-1) = -2 - 18 - 3 = -23 \] 4. Вычислим вспомогательный определитель \( \Delta_z \), заменив третий столбец: \[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_z = 2 \cdot (3 \cdot (-1) - 0 \cdot 2) - (-1) \cdot (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 5) + 3 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 5) \] \[ \Delta_z = 2 \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-13) = -6 - 1 - 39 = -46 \] 5. Находим значения переменных по формулам Крамера: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{23}{-23} = -1 \] \[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-23}{-23} = 1 \] \[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-46}{-23} = 2 \] Ответ: \( x = -1, y = 1, z = 2 \).