Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Самостоятельная работа.
Законы распределения.
Вариант 11.
1. В коробке находится 5 белых и 2 черных шара. Выбрали 3 шара. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров 1 белый и 2 черных. Составить закон распределения С.В. Х- число белых шаров среди трех взятых. Построить многоугольник распределения и функцию распределения. Найти числовые характеристики С.В. Х.
Решение:
Общее количество шаров в коробке: \(N = 5 + 2 = 7\) шаров.
Выбираем 3 шара. Общее число способов выбрать 3 шара из 7:
\[C_N^k = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\]
а) Вероятность того, что среди выбранных шаров 1 белый и 2 черных.
Число способов выбрать 1 белый шар из 5: \(C_5^1 = 5\).
Число способов выбрать 2 черных шара из 2: \(C_2^2 = 1\).
Число способов выбрать 1 белый и 2 черных шара: \(C_5^1 \cdot C_2^2 = 5 \cdot 1 = 5\).
Вероятность:
\[P(\text{1 белый, 2 черных}) = \frac{C_5^1 \cdot C_2^2}{C_7^3} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}\]
б) Составим закон распределения С.В. Х - число белых шаров среди трех взятых.
Случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3.
* \(X = 0\) (0 белых, 3 черных): Невозможно, так как всего 2 черных шара. \(P(X=0) = 0\).
* \(X = 1\) (1 белый, 2 черных):
\[P(X=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_2^2}{C_7^3} = \frac{5 \cdot 1}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}\]
* \(X = 2\) (2 белых, 1 черный):
\[P(X=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_2^1}{C_7^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 2}{35} = \frac{10 \cdot 2}{35} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}\]
* \(X = 3\) (3 белых, 0 черных):
\[P(X=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_2^0}{C_7^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1}{35} = \frac{10 \cdot 1}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}\]
Проверка: \(0 + \frac{1}{7} + \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = \frac{7}{7} = 1\).
Закон распределения:
| \(X\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(P\) | 0 | \(1/7\) | \(4/7\) | \(2/7\) |
в) Построим многоугольник распределения.
(Для построения многоугольника распределения на оси абсцисс откладываются значения \(X\), а на оси ординат - соответствующие вероятности \(P(X)\). Точки \((0,0)\), \((1, 1/7)\), \((2, 4/7)\), \((3, 2/7)\) соединяются отрезками.)
г) Построим функцию распределения \(F(x)\).
\[F(x) = P(X < x)\]
* Если \(x \le 0\), \(F(x) = 0\).
* Если \(0 < x \le 1\), \(F(x) = P(X=0) = 0\).
* Если \(1 < x \le 2\), \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) = 0 + \frac{1}{7} = \frac{1}{7}\).
* Если \(2 < x \le 3\), \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0 + \frac{1}{7} + \frac{4}{7} = \frac{5}{7}\).
* Если \(x > 3\), \(F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0 + \frac{1}{7} + \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = 1\).
Функция распределения:
\[
F(x) =
\begin{cases}
0, & x \le 0 \\
0, & 0 < x \le 1 \\
1/7, & 1 < x \le 2 \\
5/7, & 2 < x \le 3 \\
1, & x > 3
\end{cases}
\]
д) Найдем числовые характеристики С.В. Х.
Математическое ожидание \(M(X)\):
\[M(X) = \sum x_i p_i = 0 \cdot 0 + 1 \cdot \frac{1}{7} + 2 \cdot \frac{4}{7} + 3 \cdot \frac{2}{7} = 0 + \frac{1}{7} + \frac{8}{7} + \frac{6}{7} = \frac{15}{7} \approx 2.14\]
Дисперсия \(D(X)\):
\[D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\]
Найдем \(M(X^2)\):
\[M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot 0 + 1^2 \cdot \frac{1}{7} + 2^2 \cdot \frac{4}{7} + 3^2 \cdot \frac{2}{7} = 0 + \frac{1}{7} + \frac{16}{7} + \frac{18}{7} = \frac{35}{7} = 5\]
\[D(X) = 5 - \left(\frac{15}{7}\right)^2 = 5 - \frac{225}{49} = \frac{245 - 225}{49} = \frac{20}{49} \approx 0.41\]
Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X)\):
\[\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{20}{49}} = \frac{\sqrt{20}}{7} = \frac{2\sqrt{5}}{7} \approx 0.64\]
2. Простейший поток событий характеризуется интенсивностью: \(\alpha = 1.5\) события в минуту. Время наблюдения \(t=3\) минуты. Составить закон распределения С.В. Х - числа событий, наблюдаемых за это время. Вычислить числовые характеристики. Какова вероятность того, что произошло хотя бы два события?
Решение:
Данный поток событий является простейшим (Пуассоновским).
Параметр Пуассона \(\lambda = \alpha \cdot t = 1.5 \cdot 3 = 4.5\).
Закон распределения Пуассона:
\[P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\]
где \(k\) - число событий, \(k = 0, 1, 2, \dots\).
а) Составим закон распределения С.В. Х.
\[P(X=k) = \frac{4.5^k}{k!} e^{-4.5}\]
Вычислим несколько первых значений:
\[P(X=0) = \frac{4.5^0}{0!} e^{-4.5} = 1 \cdot e^{-4.5} \approx 0.0111\]
\[P(X=1) = \frac{4.5^1}{1!} e^{-4.5} = 4.5 \cdot e^{-4.5} \approx 4.5 \cdot 0.0111 = 0.04995\]
\[P(X=2) = \frac{4.5^2}{2!} e^{-4.5} = \frac{20.25}{2} \cdot e^{-4.5} \approx 10.125 \cdot 0.0111 = 0.1123875\]
\[P(X=3) = \frac{4.5^3}{3!} e^{-4.5} = \frac{91.125}{6} \cdot e^{-4.5} \approx 15.1875 \cdot 0.0111 = 0.1686\]
и так далее.
б) Вычислим числовые характеристики.
Для распределения Пуассона:
Математическое ожидание \(M(X) = \lambda = 4.5\).
Дисперсия \(D(X) = \lambda = 4.5\).
Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X) = \sqrt{\lambda} = \sqrt{4.5} \approx 2.12\).
в) Какова вероятность того, что произошло хотя бы два события?
\[P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\]
\[P(X \ge 2) = 1 - (e^{-4.5} + 4.5 e^{-4.5}) = 1 - (1 + 4.5)e^{-4.5} = 1 - 5.5 e^{-4.5}\]
\[P(X \ge 2) \approx 1 - 5.5 \cdot 0.0111 = 1 - 0.06105 = 0.93895\]
3. Стрелку выдано три патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле 0.5. Стрельба до первого попадания. Составить закон распределения С.В. Х - числа потраченных патронов, найти числовые характеристики С.В.
Решение:
Это задача на геометрическое распределение, но с ограничением на количество попыток (3 патрона).
С.В. Х - число потраченных патронов до первого попадания.
Вероятность попадания \(p = 0.5\). Вероятность промаха \(q = 1 - p = 0.5\).
Возможные значения Х: 1, 2, 3.
* \(X = 1\): Первое попадание с первого патрона.
\[P(X=1) = p = 0.5\]
* \(X = 2\): Первый промах, затем попадание со второго патрона.
\[P(X=2) = q \cdot p = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25\]
* \(X = 3\): Два промаха, затем попадание с третьего патрона.
\[P(X=3) = q \cdot q \cdot p = 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125\]
* Что если все 3 патрона промахнулись? В этом случае, по условию, стрельба до первого попадания, но патроны закончились. Если С.В. Х - число потраченных патронов, то в этом случае Х=3, но попадания не было. Однако, обычно в таких задачах подразумевается, что если попадание не произошло, то это не входит в значения Х, или же Х может быть больше 3 (если бы патронов было больше). Если же Х - это именно число потраченных патронов *до первого попадания*, то сумма вероятностей должна быть 1.
Давайте переформулируем: Х - число патронов, израсходованных до первого попадания, если оно произошло не позднее 3-го выстрела.
Сумма вероятностей: \(0.5 + 0.25 + 0.125 = 0.875\).
Остаток \(1 - 0.875 = 0.125\) соответствует случаю, когда все 3 патрона были потрачены, но попадания не было. Если С.В. Х - число потраченных патронов *до первого попадания*, то это значение не включается в Х.
Если же С.В. Х - число потраченных патронов, то нужно учесть случай, когда все 3 патрона были потрачены, но попадания не было. В этом случае \(P(X=3)\) будет включать и попадание на 3-м выстреле, и промах на 3-м выстреле.
Давайте считать, что Х - это число патронов, израсходованных *до первого попадания*, и если попадания не произошло за 3 выстрела, то это отдельный исход, не входящий в значения Х.
Тогда закон распределения будет:
| \(X\) | 1 | 2 | 3 |
| \(P\) | 0.5 | 0.25 | 0.125 |
Сумма вероятностей \(0.875\). Это означает, что с вероятностью \(0.125\) попадания не произошло за 3 выстрела.
Если же С.В. Х - это число *всего* потраченных патронов, то:
* \(X=1\): попадание на 1-м выстреле. \(P(X=1) = 0.5\).
* \(X=2\): промах на 1-м, попадание на 2-м. \(P(X=2) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25\).
* \(X=3\): промах на 1-м, промах на 2-м, и либо попадание на 3-м, либо промах на 3-м. В этом случае все 3 патрона потрачены.
\[P(X=3) = P(\text{промах, промах, попадание}) + P(\text{промах, промах, промах})\]
\[P(X=3) = (0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5) + (0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5) = 0.125 + 0.125 = 0.25\]
Тогда закон распределения:
| \(X\) | 1 | 2 | 3 |
| \(P\) | 0.5 | 0.25 | 0.25 |
Сумма вероятностей \(0.5 + 0.25 + 0.25 = 1\). Этот вариант более логичен для "числа потраченных патронов".
б) Найдем числовые характеристики С.В. Х (для второго варианта закона распределения).
Математическое ожидание \(M(X)\):
\[M(X) = \sum x_i p_i = 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.25 + 3 \cdot 0.25 = 0.5 + 0.5 + 0.75 = 1.75\]
Дисперсия \(D(X)\):
\[D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\]
Найдем \(M(X^2)\):
\[M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 1^2 \cdot 0.5 + 2^2 \cdot 0.25 + 3^2 \cdot 0.25 = 1 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.25 + 9 \cdot 0.25 = 0.5 + 1 + 2.25 = 3.75\]
\[D(X) = 3.75 - (1.75)^2 = 3.75 - 3.0625 =
