Решение задания с квадратными корнями

Задание 6. Вычислить. 1) \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{6}\) Для решения объединим все числа под один корень: \[\sqrt{3 \cdot 18 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot (3 \cdot 6) \cdot 6} = \sqrt{3^2 \cdot 6^2} = 3 \cdot 6 = 18\] Ответ: 18. 2) \(\sqrt{27} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} - 5\) Сначала перемножим корни: \[\sqrt{27 \cdot 6 \cdot 2} - 5 = \sqrt{27 \cdot 12} - 5 = \sqrt{324} - 5\] Так как \(18^2 = 324\), получаем: \[18 - 5 = 13\] Ответ: 13. 3) \(\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{20}}\) Запишем всё под одним корнем и сократим дробь: \[\sqrt{\frac{5 \cdot 12}{20}} = \sqrt{\frac{60}{20}} = \sqrt{3}\] Ответ: \(\sqrt{3}\). 4) \(\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{21}}\) Запишем под общим корнем: \[\sqrt{\frac{14}{6 \cdot 21}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{1}{3 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\] Ответ: \(\frac{1}{3}\). 5) \(\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{18}}{\sqrt{6}}\) Выполним действия под корнем: \[\sqrt{\frac{3 \cdot 18}{6}} = \sqrt{3 \cdot 3} = 3\] Ответ: 3. 6) \(\frac{20}{(4\sqrt{5})^2}\) Возведем знаменатель в квадрат: \[\frac{20}{4^2 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{20}{16 \cdot 5} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4} = 0,25\] Ответ: 0,25. 7) \(\frac{(6\sqrt{2})^2}{30}\) Возведем числитель в квадрат: \[\frac{6^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{30} = \frac{36 \cdot 2}{30} = \frac{72}{30}\] Разделим на 6: \[\frac{12}{5} = 2,4\] Ответ: 2,4.