Решение однородного уравнения xy'=y cos(ln(y/x))

Задание 2. Найти общее решение однородного уравнения 1-го порядка. Дано уравнение: \[ xy' = y \cos \ln \frac{y}{x} \] Решение: Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения сделаем замену переменной. 1. Разделим обе части уравнения на \(x\), чтобы выразить \(y'\): \[ y' = \frac{y}{x} \cos \ln \frac{y}{x} \] 2. Введем замену: Пусть \(u = \frac{y}{x}\). Тогда \(y = ux\). Найдем производную \(y'\) по \(x\): \[ y' = (ux)' = u'x + u \] 3. Подставим \(y'\) и \(u\) в исходное уравнение: \[ u'x + u = u \cos \ln u \] 4. Выразим \(u'x\): \[ u'x = u \cos \ln u - u \] \[ u'x = u (\cos \ln u - 1) \] 5. Заменим \(u'\) на \(\frac{du}{dx}\): \[ \frac{du}{dx} x = u (\cos \ln u - 1) \] 6. Разделим переменные. Перенесем все члены, содержащие \(u\), в левую часть, а члены, содержащие \(x\), в правую часть: \[ \frac{du}{u (\cos \ln u - 1)} = \frac{dx}{x} \] 7. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{du}{u (\cos \ln u - 1)} = \int \frac{dx}{x} \] 8. Правая часть интеграла: \[ \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_1 \] 9. Для левой части интеграла сделаем еще одну замену: Пусть \(t = \ln u\). Тогда \(dt = \frac{1}{u} du\). Интеграл примет вид: \[ \int \frac{dt}{\cos t - 1} \] 10. Используем тригонометрическую формулу \(1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}\), или \(\cos t - 1 = -2 \sin^2 \frac{t}{2}\): \[ \int \frac{dt}{-2 \sin^2 \frac{t}{2}} = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sin^2 \frac{t}{2}} \] 11. Известно, что \(\int \frac{1}{\sin^2 kx} dx = -\frac{1}{k} \operatorname{ctg} kx + C\). В нашем случае \(k = \frac{1}{2}\): \[ -\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{1/2} \operatorname{ctg} \frac{t}{2} \right) + C_2 = -\frac{1}{2} (-2 \operatorname{ctg} \frac{t}{2}) + C_2 = \operatorname{ctg} \frac{t}{2} + C_2 \] 12. Теперь подставим обратно \(t = \ln u\): \[ \operatorname{ctg} \left( \frac{\ln u}{2} \right) \] 13. Приравниваем обе части проинтегрированного уравнения: \[ \operatorname{ctg} \left( \frac{\ln u}{2} \right) = \ln |x| + C \] (где \(C = C_1 - C_2\)) 14. Подставим обратно \(u = \frac{y}{x}\): \[ \operatorname{ctg} \left( \frac{\ln \frac{y}{x}}{2} \right) = \ln |x| + C \] Это и есть общее решение данного однородного дифференциального уравнения. Ответ: \[ \operatorname{ctg} \left( \frac{1}{2} \ln \frac{y}{x} \right) = \ln |x| + C \]