Решение задачи №1001: Параллелепипед, описанный около шара

Задача №1001 Дано: Около шара описан прямой параллелепипед. Диагонали основания: \(d_1 = a\), \(d_2 = b\). Найти: \(S_{полн}\) (площадь полной поверхности параллелепипеда). Решение: 1. Если в прямой параллелепипед вписан шар, то этот параллелепипед является прямой призмой, в основании которой лежит ромб, а высота параллелепипеда равна диаметру шара и стороне основания (так как в ромб можно вписать окружность, только если он является квадратом, но здесь даны разные диагонали основания, значит, основание — ромб, а сам параллелепипед — прямой). Однако, по свойству описанного около шара параллелепипеда, он должен быть прямоугольным, если грани перпендикулярны. Но для прямого параллелепипеда с ромбом в основании условие вписанного шара означает, что высота \(h\) равна диаметру шара \(2R\), и в основание (ромб) вписана окружность того же радиуса \(R\). 2. Рассмотрим основание (ромб). Пусть его сторона равна \(x\). Площадь ромба через диагонали: \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\] 3. Также площадь ромба равна произведению его стороны на высоту (которая равна диаметру вписанной окружности \(2R\)): \[S_{осн} = x \cdot 2R\] 4. Из свойств ромба известно, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: \[a^2 + b^2 = 4x^2\] Отсюда сторона ромба: \[x = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\] 5. Высота ромба (диаметр шара \(2R\)) находится из площади: \[2R = \frac{S_{осн}}{x} = \frac{ab}{2} : \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}\] Высота параллелепипеда \(H\) равна диаметру шара: \[H = 2R = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}\] 6. Площадь полной поверхности параллелепипеда: \[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}\] \[S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 4x \cdot H\] \[S_{полн} = 2 \cdot \frac{ab}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}\] \[S_{полн} = ab + 2 \cdot ab = 3ab\] Ответ: \(3ab\).