Решение задач про ромб: находим стороны и высоту

Задача 1. Дано: ABCD — ромб, \(CD = 34\), \(\angle D = 60^\circ\), CH — высота. Найти: AH, HD. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD (\(\angle H = 90^\circ\)). По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника: \[ \cos D = \frac{HD}{CD} \] Отсюда: \[ HD = CD \cdot \cos 60^\circ = 34 \cdot \frac{1}{2} = 17 \] 2. Так как ABCD — ромб, все его стороны равны: \[ AD = CD = 34 \] 3. Отрезок AH найдем как разность стороны AD и отрезка HD: \[ AH = AD - HD = 34 - 17 = 17 \] Ответ: 17; 17. Задача 2. Дано: \(S_{ромба} = 27\), \(P = 36\). Найти: h (высоту). Решение: 1. Периметр ромба равен \(P = 4a\), где \(a\) — сторона ромба. \[ a = \frac{P}{4} = \frac{36}{4} = 9 \] 2. Площадь ромба вычисляется по формуле \(S = a \cdot h\). Выразим высоту: \[ h = \frac{S}{a} = \frac{27}{9} = 3 \] Ответ: 3. Задача 3. Дано: OPQR — ромб, O — центр окружности, P, Q, R лежат на окружности. Найти: \(\angle ORQ\). Решение: 1. Так как точки P, Q и R лежат на окружности с центром O, то отрезки OP, OQ и OR являются радиусами этой окружности: \[ OP = OQ = OR = R_{окр} \] 2. По условию OPQR — ромб, значит все его стороны равны: \[ OP = PQ = QR = OR \] 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что в треугольнике OQR все стороны равны: \[ OQ = QR = OR \] Следовательно, треугольник OQR — равносторонний. 4. В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\). Значит, \(\angle ORQ = 60^\circ\). Ответ: 60. Задача 4 (по чертежу). Найти: длину отрезка AB. Решение: 1. По чертежу видно, что отрезок AB соединяет стороны треугольника и расположен параллельно основанию. 2. Считаем клетки: основание треугольника равно 2 клеткам. Отрезок AB находится на середине высоты треугольника (если считать от вершины, он отстоит на 2 клетки вниз, а всё основание на 4 клетки вниз). 3. В данном случае AB является средней линией треугольника (или находится в пропорции подобия). По клеткам видно, что точки A и B лежат на узлах сетки. Расстояние между ними составляет ровно 1 клетку. \[ AB = 1 \] Ответ: 1.