Решение задачи: область определения и график функции

Вариант 2. Задание 1. Найти область определения функции: 1) \( y = \frac{9}{x-5} \) Знаменатель не может быть равен нулю: \( x - 5 \neq 0 \) \( x \neq 5 \) Ответ: \( D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty) \) 2) \( y = \sqrt{9x^2 - 1} \) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 9x^2 - 1 \geq 0 \) \( (3x - 1)(3x + 1) \geq 0 \) Корни уравнения: \( x = \frac{1}{3} \) и \( x = -\frac{1}{3} \). Методом интервалов получаем: Ответ: \( D(y) = (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{3}; +\infty) \) Задание 2. Построить график функции \( y = \frac{2}{x} \) и найти: Графиком является гипербола, расположенная в I и III четвертях. Точки для построения: (1; 2), (2; 1), (4; 0.5), (-1; -2), (-2; -1). А) \( y(9) = \frac{2}{9} \) Б) \( 20 = \frac{2}{x} \Rightarrow x = \frac{2}{20} = 0,1 \) В) Функция принимает положительные значения при \( x > 0 \). Промежуток: \( (0; +\infty) \) Г) Функция \( y = \frac{2}{x} \) убывает на всей области определения. Промежутков возрастания нет. Задание 3. Выяснить, чётной или нечётной является функция \( y = 6x^3 - x^5 \). Проверим условие \( f(-x) \): \( f(-x) = 6(-x)^3 - (-x)^5 = -6x^3 - (-x^5) = -6x^3 + x^5 = -(6x^3 - x^5) = -f(x) \) Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция является нечётной. Задание 4. Решить уравнение: \( \sqrt{x - 5} = 8 \) Возведем обе части в квадрат: \( x - 5 = 64 \) \( x = 69 \) Проверка: \( \sqrt{69 - 5} = \sqrt{64} = 8 \) (верно). Ответ: 69. Задание 5. Найдите координаты точек пересечения функций \( y = \frac{12}{x} \) и \( y = \frac{x}{3} \). Приравняем правые части: \( \frac{12}{x} = \frac{x}{3} \) По свойству пропорции: \( x^2 = 36 \) \( x_1 = 6, x_2 = -6 \) Найдем \( y \): Если \( x_1 = 6 \), то \( y_1 = \frac{6}{3} = 2 \) Если \( x_2 = -6 \), то \( y_2 = \frac{-6}{3} = -2 \) Ответ: (6; 2) и (-6; -2). Задание 6. Решите неравенство и уравнение: а) \( (3x + 1)^4 > 625 \) Так как \( 625 = 5^4 \), то: \( |3x + 1| > 5 \) Это распадается на два случая: 1) \( 3x + 1 > 5 \Rightarrow 3x > 4 \Rightarrow x > \frac{4}{3} \) 2) \( 3x + 1 < -5 \Rightarrow 3x < -6 \Rightarrow x < -2 \) Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (1\frac{1}{3}; +\infty) \) б) \( \sqrt{3x^2 + 5x + 8} = 3 + x \) Возведем в квадрат при условии \( 3 + x \geq 0 \) (\( x \geq -3 \)): \( 3x^2 + 5x + 8 = (3 + x)^2 \) \( 3x^2 + 5x + 8 = 9 + 6x + x^2 \) \( 2x^2 - x - 1 = 0 \) \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \) \( x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \) \( x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -0,5 \) Оба корня удовлетворяют условию \( x \geq -3 \). Ответ: -0,5; 1.