Решение задач по теории вероятностей

Задача 3. Теорема сложения. Дано: \(P(A) = 0.3\) \(P(B) = 0.4\) \(P(AB) = 0.1\) Найти: \(P(A + B)\) Решение: По теореме сложения вероятностей совместных событий: \[P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)\] Подставим значения: \[P(A + B) = 0.3 + 0.4 - 0.1 = 0.6\] Ответ: 0.6 Задача 4. Теорема умножения. Дано: \(p_1 = 0.7\) (вероятность попадания первого) \(q_1 = 1 - 0.7 = 0.3\) (вероятность промаха первого) \(p_2 = 0.8\) (вероятность попадания второго) \(q_2 = 1 - 0.8 = 0.2\) (вероятность промаха второго) Решение: Событие "попадет только один стрелок" означает, что либо первый попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся, а второй попал. \[P = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2\] \[P = 0.7 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot 0.8 = 0.14 + 0.24 = 0.38\] Ответ: 0.38 Задача 5. Формула Байеса. Дано: Гипотезы: \(H_1\) — выбран юноша, \(P(H_1) = 0.6\) \(H_2\) — выбрана девушка, \(P(H_2) = 0.4\) Условные вероятности события \(A\) (занимается спортом): \(P(A|H_1) = 0.3\) \(P(A|H_2) = 0.2\) Решение: 1. Найдем полную вероятность события \(A\): \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)\] \[P(A) = 0.6 \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.2 = 0.18 + 0.08 = 0.26\] 2. По формуле Байеса найдем вероятность того, что это девушка: \[P(H_2|A) = \frac{P(H_2) \cdot P(A|H_2)}{P(A)}\] \[P(H_2|A) = \frac{0.08}{0.26} = \frac{8}{26} \approx 0.3077\] Ответ: 0.3077 Задача 6. Формула Пуассона. Дано: \(n = 100\) \(p = 0.02\) \(k = 2\) Решение: Найдем параметр \(\lambda\): \[\lambda = n \cdot p = 100 \cdot 0.02 = 2\] Используем формулу Пуассона: \[P_n(k) \approx \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}\] \[P_{100}(2) \approx \frac{2^2}{2!} \cdot e^{-2} = \frac{4}{2} \cdot e^{-2} = 2 \cdot e^{-2}\] Принимая \(e^{-2} \approx 0.1353\): \[P \approx 2 \cdot 0.1353 = 0.2706\] Ответ: 0.2706 Задача 7. Дискретная СВ. Дано: \(p_1 = 0.8\), \(q_1 = 0.2\) \(p_2 = 0.9\), \(q_2 = 0.1\) \(X\) — количество полученных заказов. Возможные значения: 0, 1, 2. Решение: Вычислим вероятности для каждого значения \(X\): 1. \(P(X=0) = q_1 \cdot q_2 = 0.2 \cdot 0.1 = 0.02\) 2. \(P(X=1) = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2 = 0.8 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.9 = 0.08 + 0.18 = 0.26\) 3. \(P(X=2) = p_1 \cdot p_2 = 0.8 \cdot 0.9 = 0.72\) Закон распределения (таблица): X | 0 | 1 | 2 P | 0.02 | 0.26 | 0.72 Проверка: \(0.02 + 0.26 + 0.72 = 1\).