Решение: Определение Типа Уравнения в Частных Производных

Задача: Определить тип заданного уравнения в частных производных второго порядка. \[ 4U_{xx} + 2U_{yy} - 6U_{zz} + 6U_{xy} + 10U_{xz} + 4U_{yz} + 2U = 0 \] Решение: Для определения типа уравнения составим матрицу коэффициентов при вторых производных \( A = (a_{ij}) \). Учитывая, что смешанные производные входят в уравнение в виде \( 2a_{ij}U_{x_i x_j} \), коэффициенты матрицы будут следующими: \[ a_{11} = 4, \quad a_{22} = 2, \quad a_{33} = -6 \] \[ a_{12} = a_{21} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ a_{13} = a_{31} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ a_{23} = a_{32} = \frac{4}{2} = 2 \] Запишем матрицу \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & -6 \end{pmatrix} \] Тип уравнения определяется знаками собственных значений матрицы \( A \) или знаками главных миноров (критерий Сильвестра). Вычислим главные миноры: 1. Первый минор: \[ \Delta_1 = a_{11} = 4 > 0 \] 2. Второй минор: \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = 8 - 9 = -1 < 0 \] 3. Третий минор (детерминант матрицы): \[ \Delta_3 = \det(A) = 4 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -6 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_3 = 4(-12 - 4) - 3(-18 - 10) + 5(6 - 10) \] \[ \Delta_3 = 4(-16) - 3(-28) + 5(-4) = -64 + 84 - 20 = 0 \] Анализ результатов: Так как определитель матрицы равен нулю (\( \Delta_3 = 0 \)), это означает, что по крайней мере одно из собственных значений равно нулю. В классификации уравнений в частных производных для трех переменных, если одно из собственных значений равно нулю, а остальные имеют разные знаки (так как \( \Delta_2 < 0 \), собственные значения не могут быть все одного знака), уравнение относится к параболическому типу (в широком смысле) или является вырожденным. Однако, чаще всего в учебной программе, если \( \det(A) = 0 \), уравнение классифицируют как параболическое. Ответ: Уравнение параболического типа.