Решение краевой задачи: собственные значения и собственные функции

Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи: \[ \begin{cases} y'' + \lambda y = 0, \quad 0 < x < l \\ y'(0) = y(l) = 0 \end{cases} \] Решение: Рассмотрим возможные значения \(\lambda\). 1. Случай \(\lambda < 0\). Пусть \(\lambda = -k^2\), где \(k > 0\). Тогда уравнение принимает вид \(y'' - k^2 y = 0\). Общее решение: \(y(x) = C_1 \text{ch}(kx) + C_2 \text{sh}(kx)\). Производная: \(y'(x) = C_1 k \text{sh}(kx) + C_2 k \text{ch}(kx)\). Из условия \(y'(0) = 0\) следует: \(C_1 k \cdot 0 + C_2 k \cdot 1 = 0 \Rightarrow C_2 = 0\). Тогда \(y(x) = C_1 \text{ch}(kx)\). Из условия \(y(l) = 0\) следует: \(C_1 \text{ch}(kl) = 0\). Так как \(\text{ch}(kl) \neq 0\), то \(C_1 = 0\). Нет ненулевых решений. 2. Случай \(\lambda = 0\). Уравнение: \(y'' = 0\). Общее решение: \(y(x) = C_1 x + C_2\). Производная: \(y'(x) = C_1\). Из \(y'(0) = 0\) следует \(C_1 = 0\). Из \(y(l) = 0\) следует \(0 \cdot l + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0\). Нет ненулевых решений. 3. Случай \(\lambda > 0\). Пусть \(\lambda = k^2\), где \(k > 0\). Уравнение: \(y'' + k^2 y = 0\). Общее решение: \(y(x) = C_1 \cos(kx) + C_2 \sin(kx)\). Производная: \(y'(x) = -C_1 k \sin(kx) + C_2 k \cos(kx)\). Используем граничные условия: 1) \(y'(0) = 0 \Rightarrow -C_1 k \cdot 0 + C_2 k \cdot 1 = 0 \Rightarrow C_2 = 0\). Тогда \(y(x) = C_1 \cos(kx)\). 2) \(y(l) = 0 \Rightarrow C_1 \cos(kl) = 0\). Для существования ненулевого решения (\(C_1 \neq 0\)) необходимо: \[ \cos(kl) = 0 \] \[ kl = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] \[ k_n = \frac{(2n + 1)\pi}{2l} \] Собственные значения: \[ \lambda_n = k_n^2 = \left( \frac{(2n + 1)\pi}{2l} \right)^2, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] Собственные функции (с точностью до константы): \[ y_n(x) = \cos\left( \frac{(2n + 1)\pi x}{2l} \right) \] Ответ: Собственные значения: \(\lambda_n = \frac{(2n + 1)^2 \pi^2}{4l^2}\), \(n = 0, 1, 2, \dots\) Собственные функции: \(y_n(x) = \cos\frac{(2n + 1)\pi x}{2l}\).