Решение тригонометрического уравнения 2tg²x - 3tgx - 2 = 0

Решение тригонометрического уравнения: \[ 2\text{tg}^2x - 3\text{tg}x - 2 = 0 \] 1. Введем замену переменной. Пусть \( \text{tg}x = t \). Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения: \[ 2t^2 - 3t - 2 = 0 \] 2. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \] 3. Найдем корни для \( t \): \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5 \] 4. Вернемся к обратной замене: А) \( \text{tg}x = 2 \) \[ x_1 = \text{arctg}(2) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} \] Б) \( \text{tg}x = -0,5 \) \[ x_2 = \text{arctg}(-0,5) + \pi k = -\text{arctg}(0,5) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \[ x = \text{arctg}(2) + \pi n; \] \[ x = -\text{arctg}(0,5) + \pi k, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z} \]