Решение задачи №2: Определение типа уравнения в частных производных

Задание №2. Дано уравнение в частных производных: \[ U_{xx} + U_{xy}U_{yy} + U_{yy} - 4U_{yy} = 0 \] Упростим уравнение, приведя подобные слагаемые: \[ U_{xx} + U_{xy}U_{yy} - 3U_{yy} = 0 \] Требуется определить тип этого уравнения вдоль заданных решений \( u(x, y) \). Общий вид уравнения второго порядка: \[ A U_{xx} + 2B U_{xy} + C U_{yy} + f(x, y, U, U_x, U_y) = 0 \] Тип уравнения определяется знаком дискриминанта \( D = B^2 - AC \): 1. Если \( D > 0 \) — гиперболический тип. 2. Если \( D = 0 \) — параболический тип. 3. Если \( D < 0 \) — эллиптический тип. В нашем случае коэффициенты зависят от производных решения: \[ A = 1 \] \[ 2B = U_{yy} \implies B = \frac{U_{yy}}{2} \] \[ C = -3 \] Вычислим дискриминант: \[ D = \left( \frac{U_{yy}}{2} \right)^2 - 1 \cdot (-3) = \frac{U_{yy}^2}{4} + 3 \] Рассмотрим каждое решение по отдельности: 1) Вдоль решения \( u = 2y^2 \): Находим необходимые производные: \[ u_y = \frac{\partial}{\partial y}(2y^2) = 4y \] \[ u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(4y) = 4 \] Подставляем значение \( U_{yy} = 4 \) в формулу дискриминанта: \[ D = \frac{4^2}{4} + 3 = \frac{16}{4} + 3 = 4 + 3 = 7 \] Так как \( D = 7 > 0 \), то вдоль решения \( u = 2y^2 \) уравнение имеет гиперболический тип. 2) Вдоль решения \( u = 5xy \): Находим необходимые производные: \[ u_y = \frac{\partial}{\partial y}(5xy) = 5x \] \[ u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(5x) = 0 \] Подставляем значение \( U_{yy} = 0 \) в формулу дискриминанта: \[ D = \frac{0^2}{4} + 3 = 3 \] Так как \( D = 3 > 0 \), то вдоль решения \( u = 5xy \) уравнение также имеет гиперболический тип. Ответ: Вдоль обоих решений уравнение относится к гиперболическому типу.