Решение:

Задача: Определить тип уравнения \( U_{xx}^2 + (U_{xx} - 2)U_{xy} - U_{yy}^2 = 0 \) вдоль решения \( u = x^2 + y^2 \). Решение: 1. Сначала найдем частные производные второго порядка для заданной функции \( u(x, y) = x^2 + y^2 \): \[ u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x \] \[ u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x) = 2 \] \[ u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y \] \[ u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2y) = 2 \] \[ u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x) = 0 \] 2. Подставим полученные значения производных в исходное уравнение, чтобы убедиться, что это решение, и определить коэффициенты. Однако для определения типа нелинейного уравнения (квазилинейного относительно вторых производных) вида \( A U_{xx} + 2B U_{xy} + C U_{yy} + f = 0 \), нам нужно выделить коэффициенты при вторых производных в первой степени. В данном случае уравнение имеет вид: \[ (U_{xx}) \cdot U_{xx} + (U_{xx} - 2) \cdot U_{xy} + (-U_{yy}) \cdot U_{yy} = 0 \] Коэффициенты уравнения зависят от решения: \[ A = U_{xx} \] \[ 2B = U_{xx} - 2 \implies B = \frac{U_{xx} - 2}{2} \] \[ C = -U_{yy} \] 3. Вычислим значения этих коэффициентов вдоль решения \( u = x^2 + y^2 \), подставив \( U_{xx} = 2 \) и \( U_{yy} = 2 \): \[ A = 2 \] \[ B = \frac{2 - 2}{2} = 0 \] \[ C = -2 \] 4. Тип уравнения определяется знаком дискриминанта \( D = B^2 - AC \): \[ D = 0^2 - 2 \cdot (-2) \] \[ D = 0 + 4 = 4 \] 5. Так как \( D > 0 \), уравнение относится к гиперболическому типу. Ответ: Уравнение гиперболического типа.