Фонд оценочных средств для промежуточной аттестации
(контрольная работа, 1 полугодие)
Образовательные результаты, подлежащие проверке (элементы):
ПРБ 1, ПРБ2, ПРБ 3, ПРБ 5, ПРБ 9, ПРБ 11, ПРБ 12, ПРБ 13, ПРБ 14.
ОК 01, ОК 02, ОК 03, ОК 05, ОК 06.
ПК 1.1, ПК 2.1, ПК 3.1, ПК 4.1, ПК 5.1.
2 вариант
Первая часть
1. (3 балла) Пользуясь данным рисунком, напишите:
А) две плоскости, содержащие прямую DE;
Б) прямую, по которой пересекаются плоскости (AEF) и (SBC);
В) плоскости, которые пересекает прямая SB.
Решение:
По рисунку видно, что фигура представляет собой пирамиду с основанием ABCD и вершиной S, а также дополнительными точками E и F.
А) Две плоскости, содержащие прямую DE: (ADE) и (SDE).
Б) Прямая, по которой пересекаются плоскости (AEF) и (SBC): Прямая, проходящая через точки пересечения этих плоскостей. Точка F лежит в плоскости (AEF). Точка F также лежит в плоскости (SBC), так как F лежит на ребре SC. Точка E лежит в плоскости (AEF). Точка E также лежит в плоскости (SBC), так как E лежит на ребре SB. Таким образом, прямая EF является линией пересечения плоскостей (AEF) и (SBC).
В) Плоскости, которые пересекает прямая SB: (SAB), (SBC), (SBD), (SBE), (SBF), (SCD), (SAD), (ABC), (ABD), (BCD), (ACD), (AEF).
2. (1 балл) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они
А) параллельны; Б) перпендикулярны; В) скрещиваются; Г) пересекаются.
Решение:
Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны друг другу.
Ответ: А) параллельны.
3. (1 балл) Найти область определения функции \( \log_2(x + 2) \).
Решение:
Для логарифмической функции \( \log_a b \) аргумент \( b \) должен быть строго больше нуля. В данном случае аргументом является \( x + 2 \).
Значит, \( x + 2 > 0 \).
Вычитаем 2 из обеих частей неравенства:
\( x > -2 \).
Область определения функции: \( (-2; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-2; +\infty) \).
4. (1 балл) На рисунке изображен график функции \( y=f(x) \). Определить эту функцию?
Решение:
На рисунке изображен график логарифмической функции. Видно, что график проходит через точку \( (1; 0) \), что характерно для логарифмических функций вида \( y = \log_a x \). Также видно, что при \( x = 2 \), \( y = 1 \). Это означает, что \( \log_a 2 = 1 \), откуда \( a^1 = 2 \), то есть \( a = 2 \).
Следовательно, функция имеет вид \( y = \log_2 x \).
Ответ: \( y = \log_2 x \).
Вторая часть
При выполнении заданий 5-10 запишите ход решения и полученный ответ.
5. (2 балла) МА \( \perp \) (АВС). Построить перпендикуляр, опущенный из т. М к сторонам треугольника.
Решение:
Дано: Треугольник ABC, точка M, прямая MA перпендикулярна плоскости (ABC).
Требуется построить перпендикуляры из точки M к сторонам треугольника ABC.
Используем теорему о трех перпендикулярах.
1. Построение перпендикуляра к стороне BC:
а) Из точки A (основания перпендикуляра MA) опустим перпендикуляр AK на сторону BC. Точка K лежит на прямой BC.
б) Соединим точку M с точкой K. Прямая MK будет перпендикулярна стороне BC.
Доказательство: MA \( \perp \) (ABC), AK \( \perp \) BC. По теореме о трех перпендикулярах, если прямая (MA) перпендикулярна плоскости, а прямая (AK) является проекцией наклонной (MK) на эту плоскость и перпендикулярна прямой (BC) в плоскости, то и сама наклонная (MK) перпендикулярна прямой (BC).
2. Построение перпендикуляра к стороне AC:
а) Из точки A опустим перпендикуляр AL на сторону AC. Точка L лежит на прямой AC.
б) Соединим точку M с точкой L. Прямая ML будет перпендикулярна стороне AC.
Доказательство аналогично пункту 1.
3. Построение перпендикуляра к стороне AB:
а) Из точки A опустим перпендикуляр AN на сторону AB. Точка N лежит на прямой AB.
б) Соединим точку M с точкой N. Прямая MN будет перпендикулярна стороне AB.
Доказательство аналогично пункту 1.
Построение:
Начертим треугольник ABC. Отметим точку A. Проведем прямую MA перпендикулярно плоскости треугольника (можно изобразить MA вертикально, а ABC горизонтально).
Из A опустим перпендикуляры на каждую сторону треугольника (AK \( \perp \) BC, AL \( \perp \) AC, AN \( \perp \) AB). Затем соединим M с K, M с L, M с N. Эти отрезки MK, ML, MN и будут искомыми перпендикулярами.
6. (2 балла) Решить уравнения: \( \log_x 64 = 2 \); \( \log_4 x = -2 \); \( 5^{2x-2} = 1 \).
Решение:
Первое уравнение: \( \log_x 64 = 2 \)
По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
В нашем случае \( x^2 = 64 \).
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
\( x = \pm \sqrt{64} \)
\( x = \pm 8 \).
Для основания логарифма \( x \) есть ограничения: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
Поэтому \( x = 8 \).
Ответ: \( x = 8 \).
Второе уравнение: \( \log_4 x = -2 \)
По определению логарифма:
\( 4^{-2} = x \).
\( x = \frac{1}{4^2} \).
\( x = \frac{1}{16} \).
Для аргумента логарифма \( x \) есть ограничение: \( x > 0 \). Наш результат \( \frac{1}{16} \) удовлетворяет этому условию.
Ответ: \( x = \frac{1}{16} \).
Третье уравнение: \( 5^{2x-2} = 1 \)
Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0 в степени 0, что является неопределенностью, но здесь основание 5).
Значит, \( 5^{2x-2} = 5^0 \).
Приравниваем показатели степени:
\( 2x - 2 = 0 \).
\( 2x = 2 \).
\( x = 1 \).
Ответ: \( x = 1 \).
7. (2 балла) Решить неравенство: \( 3^x \le 9\sqrt{27} \).
Решение:
Перепишем правую часть неравенства, выразив все через основание 3.
\( 9 = 3^2 \).
\( \sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2} \).
Тогда правая часть: \( 9\sqrt{27} = 3^2 \cdot 3^{3/2} \).
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\( 3^2 \cdot 3^{3/2} = 3^{2 + 3/2} = 3^{4/2 + 3/2} = 3^{7/2} \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( 3^x \le 3^{7/2} \).
Так как основание степени \( 3 > 1 \), то функция \( y = 3^x \) является возрастающей. Следовательно, при сравнении степеней можно сравнить их показатели, сохраняя знак неравенства.
\( x \le \frac{7}{2} \).
\( x \le 3.5 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 3.5] \).
8. (3 балла) Решите неравенство: \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} + 2^{3+x} \le 9 \).
Решение:
Преобразуем первое слагаемое:
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = (2^{-1})^{-x} = 2^{(-1) \cdot (-x)} = 2^x \).
Преобразуем второе слагаемое:
\( 2^{3+x} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x \).
Подставим эти выражения в неравенство:
\( 2^x + 8 \cdot 2^x \le 9 \).
Вынесем \( 2^x \) за скобки:
\( 2^x (1 + 8) \le 9 \).
\( 2^x \cdot 9 \le 9 \).
Разделим обе части неравенства на 9 (так как 9 - положительное число, знак неравенства не меняется):
\( 2^x \le 1 \).
Представим 1 как степень с основанием 2:
\( 1 = 2^0 \).
Тогда неравенство примет вид:
\( 2^x \le 2^0 \).
Так как основание степени \( 2 > 1 \), то функция \( y = 2^x \) является возрастающей. Следовательно, при сравнении степеней можно сравнить их показатели, сохраняя знак неравенства.
\( x \le 0 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 0] \).
9. (1 балл) Вычислите:
\( \log_8 3 + 3\log_8 4 - \frac{1}{2}\log_8 9 \);
\( \log_7 14 - \log_7 2 \).
Решение:
Первое выражение: \( \log_8 3 + 3\log_8 4 - \frac{1}{2}\log_8 9 \)
Используем свойства логарифмов:
1. \( n \log_a b = \log_a (b^n) \)
2. \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \)
3. \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right) \)
Применим первое свойство:
\( 3\log_8 4 = \log_8 (4^3) = \log_8 64 \).
\( \frac{1}{2}\log_8 9 = \log_8 (9^{1/2}) = \log_8 \sqrt{9} = \log_8 3 \).
Подставим это обратно в выражение:
\( \log_8 3 + \log_8 64 - \log_8 3 \).
Заметим, что \( \log_8 3 \) и \( -\log_8 3 \) взаимно уничтожаются.
Остается \( \log_8 64 \).
Мы знаем, что \( 8^2 = 64 \).
Значит, \( \log_8 64 = 2 \).
Ответ: \( 2 \).
Второе выражение: \( \log_7 14 - \log_7 2 \)
Используем свойство логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right) \).
\( \log_7 14 - \log_7 2 = \log_7 \left(\frac{14}{2}\right) \).
\( = \log_7 7 \).
Мы знаем, что \( \log_a a = 1 \).
Значит, \( \log_7 7 = 1 \).
Ответ: \( 1 \).
10. (2 балла) Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости \( \alpha \). Пересекающие её в точках А1 и В1 соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АА1 = 5 м, ВВ1 = 12 м. А1В1=10 м и отрезок АВ не пересекает плоскость \( \alpha \).
Решение:
Дано: Прямые AA1 и BB1 перпендикулярны плоскости \( \alpha \). Точки A1 и B1 лежат в плоскости \( \alpha \). AA1 = 5 м, BB1 = 12 м, A1B1 = 10 м. Отрезок AB не пересекает плоско