Решение:

Задача: Привести к каноническому виду уравнение: \[ 3u_{xy} - 2u_{xz} - u_{yz} - u = 0 \] Решение: 1. Составим матрицу квадратичной формы из коэффициентов при вторых производных. Напомним, что коэффициент при \( u_{x_i x_j} \) (где \( i \neq j \)) делится пополам для записи в матрицу: \[ a_{12} = a_{21} = \frac{3}{2}, \quad a_{13} = a_{31} = \frac{-2}{2} = -1, \quad a_{23} = a_{32} = \frac{-1}{2} \] Коэффициенты при \( u_{xx}, u_{yy}, u_{zz} \) равны нулю. Матрица \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 3/2 & -1 \\ 3/2 & 0 & -1/2 \\ -1 & -1/2 & 0 \end{pmatrix} \] 2. Для приведения к каноническому виду воспользуемся методом выделения полных квадратов (методом Лагранжа) для соответствующей квадратичной формы: \[ Q = 3xy - 2xz - yz \] Так как квадраты переменных отсутствуют, введем замену: \[ x = \xi + \eta, \quad y = \xi - \eta, \quad z = \zeta \] Тогда \( 3xy = 3(\xi^2 - \eta^2) \). Подставим в \( Q \): \[ Q = 3\xi^2 - 3\eta^2 - 2(\xi + \eta)\zeta - (\xi - \eta)\zeta \] \[ Q = 3\xi^2 - 3\eta^2 - 2\xi\zeta - 2\eta\zeta - \xi\zeta + \eta\zeta \] \[ Q = 3\xi^2 - 3\eta^2 - 3\xi\zeta - \eta\zeta \] 3. Выделяем полные квадраты: Группируем с \( \xi \): \[ 3(\xi^2 - \xi\zeta) - 3\eta^2 - \eta\zeta = 3(\xi - \frac{1}{2}\zeta)^2 - \frac{3}{4}\zeta^2 - 3\eta^2 - \eta\zeta \] Группируем с \( \eta \): \[ 3(\xi - \frac{1}{2}\zeta)^2 - 3(\eta^2 + \frac{1}{3}\eta\zeta) - \frac{3}{4}\zeta^2 = 3(\xi - \frac{1}{2}\zeta)^2 - 3(\eta + \frac{1}{6}\zeta)^2 + \frac{3}{36}\zeta^2 - \frac{3}{4}\zeta^2 \] \[ Q = 3(\xi - \frac{1}{2}\zeta)^2 - 3(\eta + \frac{1}{6}\zeta)^2 - \frac{2}{3}\zeta^2 \] 4. Введем новые канонические переменные \( X, Y, Z \): \[ X = \xi - \frac{1}{2}\zeta, \quad Y = \eta + \frac{1}{6}\zeta, \quad Z = \zeta \] Квадратичная форма примет вид: \( 3X^2 - 3Y^2 - \frac{2}{3}Z^2 \). 5. Запишем уравнение в каноническом виде. Вторые производные по новым переменным заменяют соответствующие квадраты, а младшие члены (в данном случае \( -u \)) остаются без изменений в линейной части: \[ 3u_{XX} - 3u_{YY} - \frac{2}{3}u_{ZZ} - u = 0 \] Разделим на 3 для упрощения: \[ u_{XX} - u_{YY} - \frac{2}{9}u_{ZZ} - \frac{1}{3}u = 0 \] Ответ: Канонический вид уравнения \( u_{XX} - u_{YY} - \frac{2}{9}u_{ZZ} - \frac{1}{3}u = 0 \). Уравнение относится к гиперболическому типу (один плюс и два минуса в сигнатуре).