Решение уравнения в частных производных гиперболического типа

Задание: Привести к каноническому виду уравнение \[ u_{xy} + u_{xx} - u_y - 10u + 4x = 0 \] Решение: 1. Определим коэффициенты при старших производных: \[ a_{11} = 1 \text{ (при } u_{xx} \text{)} \] \[ a_{12} = \frac{1}{2} \text{ (при } u_{xy} \text{, так как в общем виде стоит } 2a_{12} \text{)} \] \[ a_{22} = 0 \text{ (при } u_{yy} \text{)} \] 2. Составим дискриминант уравнения: \[ D = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 \cdot 0 = \frac{1}{4} \] Так как \( D > 0 \), уравнение относится к гиперболическому типу. 3. Составим уравнение характеристик: \[ a_{11}(dy)^2 - 2a_{12}dxdy + a_{22}(dx)^2 = 0 \] \[ 1 \cdot (dy)^2 - 1 \cdot dxdy + 0 = 0 \] \[ dy(dy - dx) = 0 \] Отсюда получаем два дифференциальных уравнения: 1) \( dy = 0 \Rightarrow y = C_1 \) 2) \( dy - dx = 0 \Rightarrow y - x = C_2 \) 4. Введем новые переменные: \[ \xi = y \] \[ \eta = y - x \] 5. Вычислим производные функции \( u \) через новые переменные: \[ u_x = u_{\xi}\xi_x + u_{\eta}\eta_x = u_{\xi} \cdot 0 + u_{\eta} \cdot (-1) = -u_{\eta} \] \[ u_y = u_{\xi}\xi_y + u_{\eta}\eta_y = u_{\xi} \cdot 1 + u_{\eta} \cdot 1 = u_{\xi} + u_{\eta} \] Найдем вторые производные: \[ u_{xx} = (-u_{\eta})_x = - (u_{\eta \xi}\xi_x + u_{\eta \eta}\eta_x) = - (0 + u_{\eta \eta}(-1)) = u_{\eta \eta} \] \[ u_{xy} = (-u_{\eta})_y = - (u_{\eta \xi}\xi_y + u_{\eta \eta}\eta_y) = - (u_{\eta \xi} \cdot 1 + u_{\eta \eta} \cdot 1) = -u_{\eta \xi} - u_{\eta \eta} \] 6. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \[ (-u_{\eta \xi} - u_{\eta \eta}) + (u_{\eta \eta}) - (u_{\xi} + u_{\eta}) - 10u + 4x = 0 \] Заметим, что из замены \( \eta = y - x \) следует \( x = y - \eta = \xi - \eta \). \[ -u_{\eta \xi} - u_{\xi} - u_{\eta} - 10u + 4(\xi - \eta) = 0 \] 7. Приведем к окончательному каноническому виду, умножив на -1: \[ u_{\xi \eta} + u_{\xi} + u_{\eta} + 10u - 4\xi + 4\eta = 0 \] Ответ: \( u_{\xi \eta} + u_{\xi} + u_{\eta} + 10u - 4\xi + 4\eta = 0 \), где \( \xi = y, \eta = y - x \).