Решение определенных интегралов: ∫(x-4)^3 dx, ∫x^2 dx, ∫(2x^3-cos x) dx

Ниже представлено решение задач из вашего задания в удобном для переписывания виде. Задание 2. Вычислите определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \] а) \[ \int_{3}^{7} (x-4)^3 dx \] Решение: \[ \int_{3}^{7} (x-4)^3 dx = \left[ \frac{(x-4)^4}{4} \right]_{3}^{7} = \frac{(7-4)^4}{4} - \frac{(3-4)^4}{4} = \frac{3^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20 \] Ответ: 20. б) \[ \int_{-1}^{3} x^2 dx \] Решение: \[ \int_{-1}^{3} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{27}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = 9 + \frac{1}{3} = 9\frac{1}{3} \] Ответ: \( 9\frac{1}{3} \). в) \[ \int_{0}^{1} (2x^3 - \cos x) dx \] Решение: \[ \int_{0}^{1} (2x^3 - \cos x) dx = \left[ \frac{2x^4}{4} - \sin x \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{x^4}{2} - \sin x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^4}{2} - \sin 1 \right) - \left( \frac{0^4}{2} - \sin 0 \right) = \frac{1}{2} - \sin 1 \] Ответ: \( 0,5 - \sin 1 \). г) \[ \int_{0}^{2\pi} \sin x dx \] Решение: \[ \int_{0}^{2\pi} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi) - (-\cos 0) = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 \] Ответ: 0. д) \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx \] Решение: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \left( \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) \right) = -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos(-\pi)) \] Так как \( \cos \pi = -1 \) и \( \cos(-\pi) = -1 \): \[ -\frac{1}{2} (-1 - (-1)) = -\frac{1}{2} (-1 + 1) = 0 \] Ответ: 0. Задание 3. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y=x^2 \), \( x=3 \), \( x=5 \), \( y=0 \). Решение: Площадь \( S \) искомой фигуры вычисляется как определенный интеграл от функции \( f(x) = x^2 \) на отрезке от 3 до 5: \[ S = \int_{3}^{5} x^2 dx \] \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{5} = \frac{5^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{125}{3} - \frac{27}{3} = \frac{98}{3} = 32\frac{2}{3} \] Ответ: \( 32\frac{2}{3} \) кв. ед.