Решение краевой задачи: собственные значения и собственные функции

Задача: Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи: \[ \begin{cases} y'' - \lambda y = 0, \quad 0 < x < l \\ y'(0) = 0, \quad y(l) = 0 \end{cases} \] (Примечание: на фото в условии диапазон \( 0 < x < 1 \), но в граничном условии стоит \( l \). Будем решать для общего случая \( l \), если \( l=1 \), подставим в конце). Решение: Рассмотрим три возможных случая для \( \lambda \): 1. Случай \( \lambda > 0 \). Пусть \( \lambda = k^2 \), где \( k > 0 \). Общее решение уравнения \( y'' - k^2 y = 0 \): \[ y(x) = C_1 \cosh(kx) + C_2 \sinh(kx) \] Производная: \( y'(x) = C_1 k \sinh(kx) + C_2 k \cosh(kx) \). Граничное условие \( y'(0) = 0 \): \[ y'(0) = C_1 k \cdot 0 + C_2 k \cdot 1 = 0 \implies C_2 = 0 \] Граничное условие \( y(l) = 0 \): \[ y(l) = C_1 \cosh(kl) = 0 \] Так как \( \cosh(kl) \neq 0 \) для любых \( k, l \), то \( C_1 = 0 \). Получаем тривиальное решение \( y = 0 \), которое не является собственной функцией. 2. Случай \( \lambda = 0 \). Общее решение \( y'' = 0 \): \[ y(x) = C_1 x + C_2 \] Производная: \( y'(x) = C_1 \). Граничное условие \( y'(0) = 0 \implies C_1 = 0 \). Граничное условие \( y(l) = 0 \implies 0 \cdot l + C_2 = 0 \implies C_2 = 0 \). Снова тривиальное решение. 3. Случай \( \lambda < 0 \). Пусть \( \lambda = -k^2 \), где \( k > 0 \). Общее решение уравнения \( y'' + k^2 y = 0 \): \[ y(x) = C_1 \cos(kx) + C_2 \sin(kx) \] Производная: \( y'(x) = -C_1 k \sin(kx) + C_2 k \cos(kx) \). Граничное условие \( y'(0) = 0 \): \[ y'(0) = -C_1 k \cdot 0 + C_2 k \cdot 1 = 0 \implies C_2 = 0 \] Граничное условие \( y(l) = 0 \): \[ y(l) = C_1 \cos(kl) = 0 \] Для существования нетривиального решения (\( C_1 \neq 0 \)) необходимо: \[ \cos(kl) = 0 \implies kl = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] Отсюда находим \( k_n \): \[ k_n = \frac{(2n + 1)\pi}{2l} \] Собственные значения \( \lambda_n = -k_n^2 \): \[ \lambda_n = -\left( \frac{(2n + 1)\pi}{2l} \right)^2, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] Собственные функции (подставляем \( C_2 = 0 \) и \( k_n \)): \[ y_n(x) = \cos\left( \frac{(2n + 1)\pi x}{2l} \right) \] Если в условии \( l = 1 \), то: \[ \lambda_n = -\frac{(2n + 1)^2 \pi^2}{4}, \quad y_n(x) = \cos\left( \frac{(2n + 1)\pi x}{2} \right) \] Ответ: Собственные значения: \( \lambda_n = -\frac{(2n + 1)^2 \pi^2}{4l^2} \) Собственные функции: \( y_n(x) = \cos\left( \frac{(2n + 1)\pi x}{2l} \right) \), где \( n = 0, 1, 2, \dots \)