Решение краевой задачи: y'' + λy = 0, y'(0) = y'(l) = 0

Задача №4. Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи: \[ \begin{cases} y'' + \lambda y = 0, \quad 0 < x < l \\ y'(0) = y'(l) = 0 \end{cases} \] Решение: Рассмотрим три возможных случая для значения \(\lambda\). 1. Случай \(\lambda < 0\). Пусть \(\lambda = -k^2\), где \(k > 0\). Тогда уравнение принимает вид: \[ y'' - k^2 y = 0 \] Общее решение: \[ y(x) = C_1 \cosh(kx) + C_2 \sinh(kx) \] Найдем производную: \[ y'(x) = C_1 k \sinh(kx) + C_2 k \cosh(kx) \] Из условия \(y'(0) = 0\): \[ y'(0) = C_1 k \cdot 0 + C_2 k \cdot 1 = 0 \implies C_2 = 0 \] Тогда \(y(x) = C_1 \cosh(kx)\) и \(y'(x) = C_1 k \sinh(kx)\). Из условия \(y'(l) = 0\): \[ y'(l) = C_1 k \sinh(kl) = 0 \] Так как \(k > 0\) и \(l > 0\), то \(\sinh(kl) \neq 0\). Следовательно, \(C_1 = 0\). Получаем только тривиальное решение \(y = 0\), значит отрицательных собственных значений нет. 2. Случай \(\lambda = 0\). Уравнение принимает вид: \[ y'' = 0 \] Общее решение: \[ y(x) = C_1 x + C_2 \] Производная: \[ y'(x) = C_1 \] Из условий \(y'(0) = 0\) и \(y'(l) = 0\) следует, что \(C_1 = 0\). Тогда \(y(x) = C_2\). Это ненулевое решение (константа). Следовательно, \(\lambda_0 = 0\) — собственное значение, а \(y_0(x) = 1\) (или любая константа) — соответствующая собственная функция. 3. Случай \(\lambda > 0\). Пусть \(\lambda = k^2\), где \(k > 0\). Уравнение: \[ y'' + k^2 y = 0 \] Общее решение: \[ y(x) = C_1 \cos(kx) + C_2 \sin(kx) \] Производная: \[ y'(x) = -C_1 k \sin(kx) + C_2 k \cos(kx) \] Из условия \(y'(0) = 0\): \[ y'(0) = -C_1 k \cdot 0 + C_2 k \cdot 1 = 0 \implies C_2 = 0 \] Тогда \(y(x) = C_1 \cos(kx)\) и \(y'(x) = -C_1 k \sin(kx)\). Из условия \(y'(l) = 0\): \[ y'(l) = -C_1 k \sin(kl) = 0 \] Для существования ненулевого решения (\(C_1 \neq 0\)) необходимо, чтобы: \[ \sin(kl) = 0 \implies kl = n\pi, \quad n = 1, 2, 3, \dots \] Отсюда \(k_n = \frac{n\pi}{l}\). Собственные значения: \[ \lambda_n = k_n^2 = \left( \frac{n\pi}{l} \right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots \] Заметим, что при \(n=0\) мы получаем \(\lambda_0 = 0\), что совпадает со вторым случаем. Ответ: Собственные значения: \[ \lambda_n = \left( \frac{n\pi}{l} \right)^2, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] Собственные функции: \[ y_n(x) = \cos\left( \frac{n\pi x}{l} \right), \quad n = 0, 1, 2, \dots \]