Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Вариант 2 Задание 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения: а) \( y'' - y' - 2y = 0 \) Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - k - 2 = 0 \] Найдем корни через дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ k_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad k_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Так как корни действительные и различные, общее решение имеет вид: \[ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \] б) \( y'' + 9y = 0 \) Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 9 = 0 \] \[ k^2 = -9 \] \[ k_{1,2} = \pm 3i \] Корни являются чисто мнимыми (\( \alpha = 0, \beta = 3 \)). Общее решение имеет вид: \[ y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \] в) \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 4k + 4 = 0 \] \[ (k + 2)^2 = 0 \] \[ k_1 = k_2 = -2 \] Корни действительные и равные. Общее решение имеет вид: \[ y = (C_1 + C_2 x) e^{-2x} \] Задание 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения: \[ y'' = \frac{3}{x}, \quad y(1) = \frac{1}{4}, \quad y'(1) = 0 \] Интегрируем уравнение первый раз, чтобы найти \( y' \): \[ y' = \int \frac{3}{x} dx = 3 \ln|x| + C_1 \] Используем начальное условие \( y'(1) = 0 \): \[ 0 = 3 \ln(1) + C_1 \] \[ 0 = 0 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0 \] Получаем: \[ y' = 3 \ln x \] Интегрируем второй раз, чтобы найти \( y \): \[ y = \int 3 \ln x dx \] Применим интегрирование по частям (\( u = \ln x, dv = dx \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx, v = x \)): \[ y = 3 \left( x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx \right) = 3(x \ln x - x) + C_2 \] \[ y = 3x \ln x - 3x + C_2 \] Используем начальное условие \( y(1) = \frac{1}{4} \): \[ \frac{1}{4} = 3 \cdot 1 \cdot \ln(1) - 3 \cdot 1 + C_2 \] \[ \frac{1}{4} = 0 - 3 + C_2 \] \[ C_2 = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4} \] Частное решение: \[ y = 3x \ln x - 3x + \frac{13}{4} \]