Определение типа уравнения в частных производных

Задача №1. Определение типа уравнения в частных производных. Дано уравнение: \[ U_{xx} + 2U_{xy} + U_{yy} + U_x + U_y + 3U - xy^2 = 0 \] Решение: Для определения типа линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка вида \[ a_{11}U_{xx} + 2a_{12}U_{xy} + a_{22}U_{yy} + F(x, y, U, U_x, U_y) = 0 \] необходимо вычислить дискриминант \( D \), который находится по формуле: \[ D = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} \] Выпишем коэффициенты при старших производных из заданного уравнения: \[ a_{11} = 1 \] \[ 2a_{12} = 2 \implies a_{12} = 1 \] \[ a_{22} = 1 \] Подставим значения в формулу дискриминанта: \[ D = 1^2 - 1 \cdot 1 \] \[ D = 1 - 1 = 0 \] Тип уравнения определяется следующим образом: 1. Если \( D > 0 \), уравнение гиперболического типа. 2. Если \( D < 0 \), уравнение эллиптического типа. 3. Если \( D = 0 \), уравнение параболического типа. Так как в нашем случае \( D = 0 \), данное уравнение является уравнением параболического типа. Ответ: Уравнение параболического типа.