Решение: Вычисление выражений с корнями и степенями

№1. Вычислите: а) \(\frac{\sqrt[3]{152}}{4\sqrt[3]{19}}\) Решение: Воспользуемся свойством корня \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\): \[ \frac{\sqrt[3]{152}}{4\sqrt[3]{19}} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt[3]{\frac{152}{19}} \] Так как \(152 : 19 = 8\), получаем: \[ \frac{1}{4} \cdot \sqrt[3]{8} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{2}{4} = 0,5 \] Ответ: 0,5. б) \(\frac{3^4 \cdot 5^5}{15^4}\) Решение: Представим основание 15 как \(3 \cdot 5\): \[ \frac{3^4 \cdot 5^5}{(3 \cdot 5)^4} = \frac{3^4 \cdot 5^5}{3^4 \cdot 5^4} \] Сократим на \(3^4\) и воспользуемся свойством степеней \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\): \[ 5^{5-4} = 5^1 = 5 \] Ответ: 5. в) \(\frac{0,45 \cdot 10^9}{0,9 \cdot 10^6}\) Решение: Разделим числа и степени отдельно: \[ \frac{0,45}{0,9} \cdot \frac{10^9}{10^6} = 0,5 \cdot 10^{9-6} = 0,5 \cdot 10^3 \] \[ 0,5 \cdot 1000 = 500 \] Ответ: 500. г) \(\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{0,008 \cdot 27}\) Решение: Извлечем корень из каждого множителя (\(\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}\)): \[ \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{0,008} \cdot \sqrt[3]{27} = \frac{1}{3} \cdot 0,2 \cdot 3 \] Сократим на 3: \[ 1 \cdot 0,2 = 0,2 \] Ответ: 0,2.