Решение:

Задача №2. Определение типа нелинейного уравнения вдоль заданных решений. Дано уравнение: \[ U_{xy}^2 + U_{xx}U_{yy} + U_{yy}^2 = 8 \] Для определения типа уравнения в частных производных второго порядка вида \( F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{xy}, u_{yy}) = 0 \), необходимо рассмотреть коэффициенты при старших производных в линеаризованной форме. В общем виде уравнение записывается как: \[ a_{11}U_{xx} + 2a_{12}U_{xy} + a_{22}U_{yy} + \dots = 0 \] где коэффициенты определяются как частные производные функции \( F \) по соответствующим вторым производным \( U_{xx}, U_{xy}, U_{yy} \): \[ a_{11} = \frac{\partial F}{\partial U_{xx}} = U_{yy} \] \[ 2a_{12} = \frac{\partial F}{\partial U_{xy}} = 2U_{xy} \implies a_{12} = U_{xy} \] \[ a_{22} = \frac{\partial F}{\partial U_{yy}} = U_{xx} + 2U_{yy} \] Дискриминант вычисляется по формуле: \[ D = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = U_{xy}^2 - U_{yy}(U_{xx} + 2U_{yy}) = U_{xy}^2 - U_{xx}U_{yy} - 2U_{yy}^2 \] Рассмотрим тип уравнения вдоль каждого из заданных решений: 1) Вдоль решения \( u = x^2 + y^2 \): Находим вторые производные: \[ u_x = 2x, \quad u_{xx} = 2 \] \[ u_y = 2y, \quad u_{yy} = 2 \] \[ u_{xy} = 0 \] Подставим их в формулу дискриминанта: \[ D = 0^2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2^2 = 0 - 4 - 8 = -12 \] Так как \( D < 0 \), вдоль данного решения уравнение является эллиптическим. 2) Вдоль решения \( u = 2\sqrt{2}xy \): Находим вторые производные: \[ u_x = 2\sqrt{2}y, \quad u_{xx} = 0 \] \[ u_y = 2\sqrt{2}x, \quad u_{yy} = 0 \] \[ u_{xy} = 2\sqrt{2} \] Подставим их в формулу дискриминанта: \[ D = (2\sqrt{2})^2 - 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 = 8 - 0 - 0 = 8 \] Так как \( D > 0 \), вдоль данного решения уравнение является гиперболическим. Ответ: 1) Вдоль \( u = x^2 + y^2 \) — эллиптический тип. 2) Вдоль \( u = 2\sqrt{2}xy \) — гиперболический тип.