Задача 16.
Радиус окружности с центром \(O\) равен \(16\). Найдите длину хорды \(AB\), если:
а) \(\angle AOB = 60^\circ\);
б) \(\angle AOB = 90^\circ\);
в) \(\angle AOB = 180^\circ\).
Решение:
Рассмотрим треугольник \(AOB\). Так как \(OA\) и \(OB\) — радиусы окружности, то \(OA = OB = R = 16\). Следовательно, треугольник \(AOB\) является равнобедренным.
а) Если \(\angle AOB = 60^\circ\):
В равнобедренном треугольнике \(AOB\) углы при основании \(AB\) равны. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
Значит, \(\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \angle AOB) / 2 = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ\).
Так как все углы треугольника \(AOB\) равны \(60^\circ\), то треугольник \(AOB\) является равносторонним.
Следовательно, \(AB = OA = OB = 16\).
Ответ: \(AB = 16\).
б) Если \(\angle AOB = 90^\circ\):
В равнобедренном треугольнике \(AOB\) угол \(\angle AOB\) равен \(90^\circ\). Это означает, что треугольник \(AOB\) является прямоугольным и равнобедренным.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(AOB\):
\(AB^2 = OA^2 + OB^2\)
\(AB^2 = 16^2 + 16^2\)
\(AB^2 = 256 + 256\)
\(AB^2 = 512\)
\(AB = \sqrt{512}\)
\(AB = \sqrt{256 \cdot 2}\)
\(AB = 16\sqrt{2}\)
Ответ: \(AB = 16\sqrt{2}\).
в) Если \(\angle AOB = 180^\circ\):
Если центральный угол \(\angle AOB\) равен \(180^\circ\), это означает, что точки \(A\), \(O\), \(B\) лежат на одной прямой, и точка \(O\) находится между точками \(A\) и \(B\).
В этом случае хорда \(AB\) является диаметром окружности.
Длина диаметра равна двум радиусам:
\(AB = OA + OB = R + R = 2R\)
\(AB = 2 \cdot 16\)
\(AB = 32\)
Ответ: \(AB = 32\).