Решение задачи: колебательное движение

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Б1. Решите задачи 1. Уравнение, описывающее колебательное движение, имеет вид \(x = 0,25 \sin(40\pi t)\). Найдите амплитуду, период, частоту и циклическую частоту колебаний. Дано: Уравнение колебаний: \(x = 0,25 \sin(40\pi t)\) Найти: Амплитуда \(A\) Период \(T\) Частота \(\nu\) Циклическая частота \(\omega\) Решение: Общий вид уравнения гармонических колебаний: \(x = A \sin(\omega t + \phi_0)\). Сравнивая данное уравнение \(x = 0,25 \sin(40\pi t)\) с общим видом, получаем: 1. Амплитуда \(A\): \(A = 0,25\) м 2. Циклическая частота \(\omega\): \(\omega = 40\pi\) рад/с 3. Период \(T\): Формула для периода: \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) Подставляем значение \(\omega\): \(T = \frac{2\pi}{40\pi} = \frac{1}{20} = 0,05\) с 4. Частота \(\nu\): Формула для частоты: \(\nu = \frac{1}{T}\) или \(\nu = \frac{\omega}{2\pi}\) Подставляем значение \(T\): \(\nu = \frac{1}{0,05} = 20\) Гц Ответ: Амплитуда \(A = 0,25\) м. Период \(T = 0,05\) с. Частота \(\nu = 20\) Гц. Циклическая частота \(\omega = 40\pi\) рад/с. 2. На какое расстояние от положения равновесия надо отвести груз массой 360 г, закреплённый на пружине жёсткостью 0,4 кН/м, чтобы он прошёл положение равновесия со скоростью 2 м/с? Дано: Масса груза \(m = 360\) г \( = 0,36\) кг Жёсткость пружины \(k = 0,4\) кН/м \( = 400\) Н/м Скорость в положении равновесия \(v_{max} = 2\) м/с Найти: Расстояние от положения равновесия (амплитуда) \(A\) Решение: При гармонических колебаниях максимальная скорость достигается в положении равновесия. Формула для максимальной скорости: \(v_{max} = A\omega\), где \(A\) - амплитуда, \(\omega\) - циклическая частота. Циклическая частота для пружинного маятника: \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\). 1. Найдем циклическую частоту \(\omega\): \(\omega = \sqrt{\frac{400 \text{ Н/м}}{0,36 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{40000}{36}} = \sqrt{\frac{10000}{9}} = \frac{100}{3}\) рад/с 2. Найдем амплитуду \(A\): Из формулы \(v_{max} = A\omega\) выразим \(A\): \(A = \frac{v_{max}}{\omega}\) Подставляем значения: \(A = \frac{2 \text{ м/с}}{\frac{100}{3} \text{ рад/с}} = \frac{2 \cdot 3}{100} = \frac{6}{100} = 0,06\) м Ответ: Груз надо отвести на расстояние \(0,06\) м от положения равновесия. 3. Ёмкость конденсатора в колебательном контуре \(C = 20\) мкФ, индуктивность катушки \(L = 0,05\) Гн. Найти амплитуду силы тока (\(I_m\)), если амплитуда напряжения \(U_m = 50\) В. Дано: Ёмкость конденсатора \(C = 20\) мкФ \( = 20 \cdot 10^{-6}\) Ф Индуктивность катушки \(L = 0,05\) Гн Амплитуда напряжения \(U_m = 50\) В Найти: Амплитуда силы тока \(I_m\) Решение: В колебательном контуре происходит преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Максимальная энергия электрического поля конденсатора: \(W_C = \frac{C U_m^2}{2}\) Максимальная энергия магнитного поля катушки: \(W_L = \frac{L I_m^2}{2}\) По закону сохранения энергии, максимальные энергии равны: \(W_C = W_L\). \(\frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}\) \(C U_m^2 = L I_m^2\) Выразим \(I_m\): \(I_m^2 = \frac{C U_m^2}{L}\) \(I_m = \sqrt{\frac{C U_m^2}{L}} = U_m \sqrt{\frac{C}{L}}\) Подставляем значения: \(I_m = 50 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{0,05 \text{ Гн}}}\) \(I_m = 50 \cdot \sqrt{\frac{20 \cdot 10^{-6}}{5 \cdot 10^{-2}}} = 50 \cdot \sqrt{4 \cdot 10^{-4}}\) \(I_m = 50 \cdot (2 \cdot 10^{-2}) = 50 \cdot 0,02 = 1\) А Ответ: Амплитуда силы тока \(I_m = 1\) А. 4. Колебательный контур содержит конденсатор ёмкостью \(C = 50\) мкФ и катушку индуктивностью \(L = 32\) мкГн. Найти циклическую частоту (\(\omega\)), частоту (\(\nu\)) и период (\(T\)) колебаний в этом контуре. Дано: Ёмкость конденсатора \(C = 50\) мкФ \( = 50 \cdot 10^{-6}\) Ф Индуктивность катушки \(L = 32\) мкГн \( = 32 \cdot 10^{-6}\) Гн Найти: Циклическая частота \(\omega\) Частота \(\nu\) Период \(T\) Решение: Для идеального колебательного контура (LC-контура) период, частота и циклическая частота определяются формулами Томсона. 1. Циклическая частота \(\omega\): Формула для циклической частоты: \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) Подставляем значения: \(\omega = \frac{1}{\sqrt{32 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}}\) \(\omega = \frac{1}{\sqrt{1600 \cdot 10^{-12}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 10^2 \cdot 10^{-12}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 10^{-10}}}\) \(\omega = \frac{1}{4 \cdot 10^{-5}} = \frac{10^5}{4} = 0,25 \cdot 10^5 = 25000\) рад/с 2. Период \(T\): Формула для периода: \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) или \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) Используем найденное значение \(\omega\): \(T = \frac{2\pi}{25000} = \frac{\pi}{12500}\) с Приближенное значение: \(T \approx \frac{3,14}{12500} \approx 0,0002512\) с \( = 251,2\) мкс 3. Частота \(\nu\): Формула для частоты: \(\nu = \frac{1}{T}\) или \(\nu = \frac{\omega}{2\pi}\) Используем найденное значение \(\omega\): \(\nu = \frac{25000}{2\pi} = \frac{12500}{\pi}\) Гц Приближенное значение: \(\nu \approx \frac{12500}{3,14} \approx 3980,89\) Гц \(\approx 3,98\) кГц Ответ: Циклическая частота \(\omega = 25000\) рад/с. Период \(T = \frac{\pi}{12500}\) с (или примерно \(251,2\) мкс). Частота \(\nu = \frac{12500}{\pi}\) Гц (или примерно \(3,98\) кГц).