Решение задачи по теории вероятностей (Вариант 2)

Ниже представлено решение задач 2-го варианта, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано распределение: \(x_i\): 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5 \(p_i\): 0,1; 0,1; 5p; p; 0,2 1) Найдем неизвестную вероятность \(p\). Сумма всех вероятностей равна 1: \[0,1 + 0,1 + 5p + p + 0,2 = 1\] \[0,4 + 6p = 1\] \[6p = 0,6\] \[p = 0,1\] Тогда вероятности: \(5p = 0,5\), \(p = 0,1\). 2) Математическое ожидание \(M(X)\): \[M(X) = \sum x_i p_i = 0,1 \cdot 0,1 + 0,1 \cdot 0,1 + 0,2 \cdot 0,5 + 0,3 \cdot 0,1 + 0,5 \cdot 0,2\] \[M(X) = 0,01 + 0,01 + 0,1 + 0,03 + 0,1 = 0,25\] 3) Дисперсия \(D(X)\): \[D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\] \[M(X^2) = 0,1^2 \cdot 0,1 + 0,1^2 \cdot 0,1 + 0,2^2 \cdot 0,5 + 0,3^2 \cdot 0,1 + 0,5^2 \cdot 0,2\] \[M(X^2) = 0,01 \cdot 0,1 + 0,01 \cdot 0,1 + 0,04 \cdot 0,5 + 0,09 \cdot 0,1 + 0,25 \cdot 0,2\] \[M(X^2) = 0,001 + 0,001 + 0,02 + 0,009 + 0,05 = 0,081\] \[D(X) = 0,081 - (0,25)^2 = 0,081 - 0,0625 = 0,0185\] Ответ: \(M(X) = 0,25\); \(D(X) = 0,0185\). Задача 2. Выборка цен: 17519, 17699, 17109, 16999, 18000, 17499. Число элементов \(n = 6\). 1) Среднее арифметическое \(\bar{x}\): \[\bar{x} = \frac{17519 + 17699 + 17109 + 16999 + 18000 + 17499}{6} = \frac{104825}{6} \approx 17470,83\] 2) Исправленная выборочная дисперсия \(s^2\): \[s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}\] Вычислим отклонения: \(17519 - 17470,83 = 48,17\) \(17699 - 17470,83 = 228,17\) \(17109 - 17470,83 = -361,83\) \(16999 - 17470,83 = -471,83\) \(18000 - 17470,83 = 529,17\) \(17499 - 17470,83 = 28,17\) Сумма квадратов: \[48,17^2 + 228,17^2 + (-361,83)^2 + (-471,83)^2 + 529,17^2 + 28,17^2 \approx 2320,35 + 52061,55 + 130920,95 + 222623,55 + 280020,89 + 793,55 = 688740,84\] \[s^2 = \frac{688740,84}{5} = 137748,17\] 3) Стандартное отклонение \(s\): \[s = \sqrt{137748,17} \approx 371,14\] Округляем до целого: 371 рубль. Ответ: 371 руб. Задача 3. Пусть \(X\) — число промахов. Вероятность попадания \(p = 0,7\), промаха \(q = 0,3\). Максимум 4 выстрела. Значения \(X\): - \(X=0\): попал с 1-го раза. \(P(X=0) = 0,7\) - \(X=1\): промах, потом попал. \(P(X=1) = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21\) - \(X=2\): два промаха, потом попал. \(P(X=2) = 0,3^2 \cdot 0,7 = 0,063\) - \(X=3\): три промаха, потом попал. \(P(X=3) = 0,3^3 \cdot 0,7 = 0,0189\) - \(X=4\): четыре промаха (стрельба окончена). \(P(X=4) = 0,3^4 = 0,0081\) Закон распределения: \(X\): 0; 1; 2; 3; 4 \(P\): 0,7; 0,21; 0,063; 0,0189; 0,0081 Дисперсия: \[M(X) = 0 \cdot 0,7 + 1 \cdot 0,21 + 2 \cdot 0,063 + 3 \cdot 0,0189 + 4 \cdot 0,0081 = 0,21 + 0,126 + 0,0567 + 0,0324 = 0,4251\] \[M(X^2) = 0^2 \cdot 0,7 + 1^2 \cdot 0,21 + 2^2 \cdot 0,063 + 3^2 \cdot 0,0189 + 4^2 \cdot 0,0081 = 0,21 + 0,252 + 0,1701 + 0,1296 = 0,7617\] \[D(X) = 0,7617 - (0,4251)^2 = 0,7617 - 0,18071 = 0,58099\] Ответ: \(D(X) \approx 0,581\). Задача 4. Белых шаров 7, черных 3. Всего 10. Вероятность вынуть белый шар \(p = \frac{7}{10} = 0,7\). Проводится \(n = 6\) испытаний Бернулли. Нужно найти вероятность \(k = 5\) успехов. Формула Бернулли: \(P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}\) \[P_6(5) = C_6^5 \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^1\] \[C_6^5 = \frac{6!}{5!1!} = 6\] \[P_6(5) = 6 \cdot 0,16807 \cdot 0,3 = 1,8 \cdot 0,16807 = 0,302526\] Ответ: 0,302526.