Нахождение производной функции y = 1/(x√x) + 3/⁵√x³

Задание: Найти производную функции \( y = \frac{1}{x\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt[5]{x^3}} \). Решение: Для начала представим каждое слагаемое в виде степени с основанием \( x \), чтобы было удобно применять формулу производной степенной функции \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \). 1. Преобразуем первое слагаемое: \[ \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x^1 \cdot x^{1/2}} = \frac{1}{x^{3/2}} = x^{-3/2} \] 2. Преобразуем второе слагаемое: \[ \frac{3}{\sqrt[5]{x^3}} = \frac{3}{x^{3/5}} = 3x^{-3/5} \] Таким образом, исходная функция принимает вид: \[ y = x^{-3/2} + 3x^{-3/5} \] Теперь найдем производную \( y' \): \[ y' = (x^{-3/2} + 3x^{-3/5})' = (x^{-3/2})' + (3x^{-3/5})' \] Применяем правило дифференцирования: \[ y' = -\frac{3}{2}x^{-3/2 - 1} + 3 \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) x^{-3/5 - 1} \] \[ y' = -\frac{3}{2}x^{-5/2} - \frac{9}{5}x^{-8/5} \] Вернемся к записи через корни и дроби для окончательного ответа: \[ y' = -\frac{3}{2x^{5/2}} - \frac{9}{5x^{8/5}} \] \[ y' = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}} - \frac{9}{5\sqrt[5]{x^8}} \] \[ y' = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}} - \frac{9}{5x\sqrt[5]{x^3}} \] Ответ: \[ y' = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}} - \frac{9}{5x\sqrt[5]{x^3}} \]