Упрощение выражения (e): Решение

Задание е) Упростить выражение: \[ \left( \frac{a + b}{a} - \frac{a + b}{b} \right) : \frac{a + b}{a^2 b^2} \] Решение: 1) Выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю \( ab \): \[ \frac{a + b}{a} - \frac{a + b}{b} = \frac{b(a + b) - a(a + b)}{ab} \] 2) Вынесем общий множитель \( (a + b) \) в числителе: \[ \frac{(a + b)(b - a)}{ab} \] 3) Выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь: \[ \frac{(a + b)(b - a)}{ab} \cdot \frac{a^2 b^2}{a + b} \] 4) Сократим дробь на \( (a + b) \) и на \( ab \): \[ \frac{(b - a) \cdot a^2 b^2}{ab} = (b - a) \cdot ab \] 5) Раскроем скобки: \[ ab^2 - a^2 b \] Ответ: \( ab^2 - a^2 b \) или \( ab(b - a) \).