Свойства квадратного корня
Задача: Дано выражение: \(\sqrt{x^2 - 10x + 25}\). Замените выражение тождественно равным ему многочленом, если известно, что \(x < 5\).
Отметьте верный вариант ответа.
- \(x + 5\)
- \(x - \sqrt{10x} + 5\)
- \(x - 5\)
- \(5 - x\)
Найдите значение выражения при \(x = 4.3\).
Решение:
1. Преобразование выражения:
Рассмотрим выражение под корнем: \(x^2 - 10x + 25\).
Это выражение является полным квадратом разности. Мы можем заметить, что:
- Первый член \(x^2\) — это квадрат \(x\).
- Последний член \(25\) — это квадрат \(5\).
- Средний член \(-10x\) — это удвоенное произведение \(x\) и \(5\) со знаком минус: \(2 \cdot x \cdot 5 = 10x\), и с минусом \(-10x\).
Таким образом, выражение \(x^2 - 10x + 25\) можно записать как \((x - 5)^2\).
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
\[\sqrt{x^2 - 10x + 25} = \sqrt{(x - 5)^2}\]По свойству квадратного корня, \(\sqrt{a^2} = |a|\). Значит:
\[\sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|\]2. Учет условия \(x < 5\):
Нам дано условие, что \(x < 5\).
Если \(x < 5\), то \(x - 5\) будет отрицательным числом.
Например, если \(x = 4\), то \(x - 5 = 4 - 5 = -1\).
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. То есть, если \(a < 0\), то \(|a| = -a\).
В нашем случае, так как \(x - 5 < 0\), то \(|x - 5| = -(x - 5)\).
Раскроем скобки:
\[-(x - 5) = -x + 5 = 5 - x\]Таким образом, выражение \(\sqrt{x^2 - 10x + 25}\) тождественно равно \(5 - x\) при условии \(x < 5\).
Верный вариант ответа: \(5 - x\)
3. Нахождение значения выражения при \(x = 4.3\):
Мы нашли, что при \(x < 5\) выражение равно \(5 - x\).
Подставим \(x = 4.3\) в это выражение:
\[5 - 4.3 = 0.7\]Ответ:
Тождественно равный многочлен: \(5 - x\)
Значение выражения при \(x = 4.3\): \(0.7\)