Решение производной параметрически заданной функции

Задание: Найти производную функции \(y\) по \(x\), заданной параметрически. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x = t(1 - \sin t) \\ y = t \cos t \end{cases} \] Решение: Для нахождения производной \(y'_x\) воспользуемся формулой для функции, заданной параметрически: \[ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} \] 1. Найдем производную \(x\) по \(t\): \[ x'_t = (t(1 - \sin t))' = (t - t \sin t)' \] Применяем правило производной произведения \((uv)' = u'v + uv'\): \[ x'_t = 1 - (1 \cdot \sin t + t \cdot \cos t) = 1 - \sin t - t \cos t \] 2. Найдем производную \(y\) по \(t\): \[ y'_t = (t \cos t)' \] Применяем правило производной произведения: \[ y'_t = 1 \cdot \cos t + t \cdot (-\sin t) = \cos t - t \sin t \] 3. Составим отношение производных: \[ y'_x = \frac{\cos t - t \sin t}{1 - \sin t - t \cos t} \] Ответ: \[ y'_x = \frac{\cos t - t \sin t}{1 - \sin t - t \cos t} \]