Решение: Контрольная работа за 1 полугодие 8 класс, 2 вариант

Контрольная работа за 1 полугодие 8 класс. 2 вариант. Задача 1. Дано: ABCD — параллелограмм, диагональ AC делит угол A на части \( 30^{\circ} \) и \( 45^{\circ} \). Найти: больший угол параллелограмма. Решение: 1) Найдем острый угол параллелограмма \( \angle A \): \[ \angle A = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ} \] 2) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^{\circ} \). Найдем тупой угол \( \angle B \): \[ \angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ} \] Ответ: \( 105^{\circ} \). Задача 2. Дано: ABCD — ромб, \( \angle ACD = 7^{\circ} \). Найти: \( \angle BCD \). Решение: В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Следовательно, диагональ AC делит угол C пополам. \[ \angle BCD = 2 \cdot \angle ACD = 2 \cdot 7^{\circ} = 14^{\circ} \] Ответ: \( 14^{\circ} \). Задача 3. Дано: прямоугольный треугольник, катеты \( a = 10 \) см, \( b = 9 \) см. Найти: площадь \( S \). Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 5 \cdot 9 = 45 \text{ см}^2 \] Ответ: \( 45 \text{ см}^2 \). Задача 4. Дано: параллелограмм, стороны \( a = 30 \) см, площадь \( S = 360 \text{ см}^2 \). Найти: высоту \( h \). Решение: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле \( S = a \cdot h \). Отсюда: \[ h = \frac{S}{a} = \frac{360}{30} = 12 \text{ см} \] Ответ: \( 12 \text{ см} \). Задача 5. Дано: прямоугольник со сторонами 7 и 4, из него вырезан квадрат со стороной 3. Найти: площадь фигуры. Решение: 1) Площадь прямоугольника: \( S_{пр} = 7 \cdot 4 = 28 \). 2) Площадь квадрата: \( S_{кв} = 3 \cdot 3 = 9 \). 3) Площадь оставшейся фигуры: \[ S = S_{пр} - S_{кв} = 28 - 9 = 19 \] Ответ: 19. Задача 6. Дано: трапеция на клетчатой бумаге. Размер клетки 1х1. Найти: площадь трапеции. Решение: По рисунку определим основания \( a \), \( b \) и высоту \( h \): Верхнее основание \( a = 5 \) клеток. Нижнее основание \( b = 9 \) клеток. Высота \( h = 4 \) клетки. Формула площади трапеции: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{5 + 9}{2} \cdot 4 = \frac{14}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28 \] Ответ: 28. Задача 7. Дано: прямоугольный треугольник FHK, катеты \( FH = 12 \), \( HK = 35 \). Найти: гипотенузу \( FK \). Решение: По теореме Пифагора: \[ FK^2 = FH^2 + HK^2 \] \[ FK^2 = 12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369 \] \[ FK = \sqrt{1369} = 37 \] Ответ: 37.