Решение КР-3 Вариант 2: Интеграл и его применение

КР-3 Вариант 2. Тема: Интеграл и его применение Задание 1. Вычислите интеграл: 1) \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left. \text{tg } x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \text{tg } \frac{\pi}{4} - \text{tg } 0 = 1 - 0 = 1 \] 2) \[ \int_{-2}^{-1} \left( \frac{1}{x^2} + 1 \right) dx = \int_{-2}^{-1} (x^{-2} + 1) dx = \left. \left( \frac{x^{-1}}{-1} + x \right) \right|_{-2}^{-1} = \left. \left( -\frac{1}{x} + x \right) \right|_{-2}^{-1} \] \[ = \left( -\frac{1}{-1} + (-1) \right) - \left( -\frac{1}{-2} + (-2) \right) = (1 - 1) - (0,5 - 2) = 0 - (-1,5) = 1,5 \] Задание 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = x^4 \) и прямыми \( y = 0 \), \( x = 2 \). Решение: Площадь \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = \int_{0}^{2} x^4 dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{0}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{32}{5} = 6,4 \] Ответ: 6,4. Задание 3. Найдите первообразную функции \( f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7 \), график которой проходит через точку \( A(1; -4) \). Решение: Общий вид первообразной: \[ F(x) = \int (5x^4 + 3x^2 - 7) dx = x^5 + x^3 - 7x + C \] Подставим координаты точки \( A(1; -4) \), где \( x = 1 \), \( F(x) = -4 \): \[ 1^5 + 1^3 - 7 \cdot 1 + C = -4 \] \[ 1 + 1 - 7 + C = -4 \] \[ -5 + C = -4 \Rightarrow C = 1 \] Искомая первообразная: \( F(x) = x^5 + x^3 - 7x + 1 \). Задание 4. Вычислите интеграл: 1) \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 2\sin 2x - \frac{1}{3} \cos \frac{x}{3} \right) dx = \left. \left( -2 \cdot \frac{1}{2} \cos 2x - \frac{1}{3} \cdot 3 \sin \frac{x}{3} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left. \left( -\cos 2x - \sin \frac{x}{3} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \] \[ = \left( -\cos \pi - \sin \frac{\pi}{6} \right) - \left( -\cos 0 - \sin 0 \right) = \left( -(-1) - 0,5 \right) - (-1 - 0) = 0,5 + 1 = 1,5 \] 2) \[ \int_{0}^{6} \left( x + \frac{5}{\sqrt{0,5x + 1}} \right) dx = \int_{0}^{6} (x + 5(0,5x + 1)^{-\frac{1}{2}}) dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} + 5 \cdot \frac{(0,5x + 1)^{\frac{1}{2}}}{0,5 \cdot \frac{1}{2}} \right) \right|_{0}^{6} \] \[ = \left. \left( \frac{x^2}{2} + 20\sqrt{0,5x + 1} \right) \right|_{0}^{6} = \left( \frac{36}{2} + 20\sqrt{3+1} \right) - \left( 0 + 20\sqrt{1} \right) = (18 + 40) - 20 = 38 \] Задание 5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = x^2 + 1 \) и прямой \( y = x + 3 \). Решение: 1. Найдем точки пересечения: \( x^2 + 1 = x + 3 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \). По теореме Виета \( x_1 = -1, x_2 = 2 \). 2. Площадь: \[ S = \int_{-1}^{2} (x + 3 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^{2} \] \[ = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \left( -\frac{8}{3} + 6 \right) - \left( \frac{5}{6} - 2 \right) = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = 4,5 \] Ответ: 4,5. Задание 6. Вычислите интеграл \( \int_{-1}^{4} f(x) dx \) по графику. Решение: Интеграл равен площади криволинейной трапеции под графиком. На отрезке \([-1; 4]\) фигура представляет собой трапецию с вершинами в точках \((-1; 0), (0,5; 4), (4; 1,5)\) (приблизительно по клеткам) или можно разбить на части. По графику: Точка пика \( (0,5; 4) \). Интеграл от -1 до 4 — это площадь под ломаной. Площадь треугольника от -1 до 0,5: \( S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 4 = 3 \). Площадь трапеции от 0,5 до 4: основания \( 4 \) и \( 1,5 \), высота \( 3,5 \). \( S_2 = \frac{4 + 1,5}{2} \cdot 3,5 = 2,75 \cdot 3,5 = 9,625 \). Суммарная площадь: \( 3 + 9,625 = 12,625 \). (Примечание: точные значения зависят от интерпретации координат узлов сетки, обычно в таких задачах точки попадают в целые деления. Если пик в \( (0; 4) \), то \( S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 + \frac{4 + 1,6}{2} \cdot 4 \dots \) Проверьте координаты точек по вашей сетке внимательно).