Задачи по молекулярной физике 1.1
1. Чему равно количество вещества (в молях), содержащегося в воде массой 1 г?
Дано:
\(m = 1 \text{ г} = 0.001 \text{ кг}\)
Найти:
\(\nu - ?\)
Решение:
Молярная масса воды \(H_2O\) состоит из двух атомов водорода и одного атома кислорода.
Молярная масса водорода \(M_H = 1 \text{ г/моль}\)
Молярная масса кислорода \(M_O = 16 \text{ г/моль}\)
Молярная масса воды \(M_{H_2O} = 2 \cdot M_H + M_O = 2 \cdot 1 \text{ г/моль} + 16 \text{ г/моль} = 18 \text{ г/моль} = 0.018 \text{ кг/моль}\)
Количество вещества \(\nu\) определяется по формуле:
\[\nu = \frac{m}{M}\]
Подставляем значения:
\[\nu = \frac{1 \text{ г}}{18 \text{ г/моль}} \approx 0.0556 \text{ моль}\]
Ответ: Количество вещества в 1 г воды равно примерно \(0.0556 \text{ моль}\).
2. Во сколько раз число атомов в углероде массой 12 кг превышает число молекул в кислороде массой 16 кг?
Дано:
Масса углерода \(m_C = 12 \text{ кг}\)
Масса кислорода \(m_{O_2} = 16 \text{ кг}\)
Найти:
\(\frac{N_C}{N_{O_2}} - ?\)
Решение:
Молярная масса углерода \(M_C = 12 \text{ кг/кмоль} = 0.012 \text{ кг/моль}\)
Молярная масса кислорода \(M_O = 16 \text{ кг/кмоль} = 0.016 \text{ кг/моль}\)
Молекула кислорода состоит из двух атомов, поэтому молярная масса молекулярного кислорода \(M_{O_2} = 2 \cdot M_O = 2 \cdot 0.016 \text{ кг/моль} = 0.032 \text{ кг/моль}\)
Число атомов (или молекул) \(N\) можно найти по формуле:
\[N = \frac{m}{M} \cdot N_A\]
где \(N_A\) - число Авогадро (\(6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}\)).
Число атомов углерода:
\[N_C = \frac{m_C}{M_C} \cdot N_A = \frac{12 \text{ кг}}{0.012 \text{ кг/моль}} \cdot N_A = 1000 \text{ моль} \cdot N_A\]
Число молекул кислорода:
\[N_{O_2} = \frac{m_{O_2}}{M_{O_2}} \cdot N_A = \frac{16 \text{ кг}}{0.032 \text{ кг/моль}} \cdot N_A = 500 \text{ моль} \cdot N_A\]
Отношение числа атомов углерода к числу молекул кислорода:
\[\frac{N_C}{N_{O_2}} = \frac{1000 \cdot N_A}{500 \cdot N_A} = \frac{1000}{500} = 2\]
Ответ: Число атомов в углероде массой 12 кг в 2 раза превышает число молекул в кислороде массой 16 кг.
3. Молярная масса азота равна \(0.028 \text{ кг/моль}\). Чему равна масса молекулы?
Дано:
Молярная масса азота \(M_N = 0.028 \text{ кг/моль}\)
Найти:
\(m_0 - ?\)
Решение:
Масса одной молекулы \(m_0\) связана с молярной массой \(M\) и числом Авогадро \(N_A\) по формуле:
\[m_0 = \frac{M}{N_A}\]
Число Авогадро \(N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}\).
Подставляем значения:
\[m_0 = \frac{0.028 \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 4.65 \cdot 10^{-26} \text{ кг}\]
Ответ: Масса молекулы азота равна примерно \(4.65 \cdot 10^{-26} \text{ кг}\).
4. Определите число атомов меди объёмом \(1 \text{ м}^3\). Молярная масса меди \(M = 0.0635 \text{ кг/моль}\), её плотность \(9000 \text{ кг/м}^3\).
Дано:
Объём меди \(V = 1 \text{ м}^3\)
Молярная масса меди \(M = 0.0635 \text{ кг/моль}\)
Плотность меди \(\rho = 9000 \text{ кг/м}^3\)
Найти:
\(N - ?\)
Решение:
Масса меди \(m\) в заданном объёме:
\[m = \rho \cdot V\]
\[m = 9000 \text{ кг/м}^3 \cdot 1 \text{ м}^3 = 9000 \text{ кг}\]
Число атомов \(N\) можно найти по формуле:
\[N = \frac{m}{M} \cdot N_A\]
где \(N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}\).
Подставляем значения:
\[N = \frac{9000 \text{ кг}}{0.0635 \text{ кг/моль}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}\]
\[N \approx 141732.28 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \approx 8.534 \cdot 10^{28}\]
Ответ: Число атомов меди объёмом \(1 \text{ м}^3\) равно примерно \(8.534 \cdot 10^{28}\).
5. Плотность алмаза \(3500 \text{ кг/м}^3\). Какой объём займут \(10^{22}\) атомов этого вещества?
Дано:
Плотность алмаза \(\rho = 3500 \text{ кг/м}^3\)
Число атомов \(N = 10^{22}\)
Найти:
\(V - ?\)
Решение:
Алмаз состоит из атомов углерода. Молярная масса углерода \(M_C = 0.012 \text{ кг/моль}\).
Масса \(m\) \(N\) атомов можно найти по формуле:
\[m = \frac{N}{N_A} \cdot M\]
где \(N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}\).
Подставляем значения:
\[m = \frac{10^{22}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \cdot 0.012 \text{ кг/моль}\]
\[m \approx 0.0166 \cdot 0.012 \text{ кг} \approx 0.0001992 \text{ кг}\]
Объём \(V\) можно найти по формуле:
\[V = \frac{m}{\rho}\]
\[V = \frac{0.0001992 \text{ кг}}{3500 \text{ кг/м}^3} \approx 5.69 \cdot 10^{-8} \text{ м}^3\]
Ответ: \(10^{22}\) атомов алмаза займут объём примерно \(5.69 \cdot 10^{-8} \text{ м}^3\).
6. Определите число атомных слоёв серебряного покрытия толщиной \(15 \text{ мкм}\). Плотность серебра \(1.05 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3\).
Дано:
Толщина покрытия \(h = 15 \text{ мкм} = 15 \cdot 10^{-6} \text{ м}\)
Плотность серебра \(\rho = 1.05 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3\)
Найти:
\(k - ?\) (число атомных слоёв)
Решение:
Для определения числа атомных слоёв нужно знать диаметр одного атома серебра. Диаметр атома можно оценить, зная молярную массу и плотность.
Молярная масса серебра \(M_{Ag} = 0.10787 \text{ кг/моль}\).
Объём, занимаемый одним молем серебра:
\[V_{моль} = \frac{M_{Ag}}{\rho} = \frac{0.10787 \text{ кг/моль}}{1.05 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3} \approx 1.027 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3\text{/моль}\]
Объём, занимаемый одним атомом серебра:
\[V_{атом} = \frac{V_{моль}}{N_A} = \frac{1.027 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3\text{/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 1.705 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3\]
Предположим, что атом имеет форму куба со стороной \(d\). Тогда \(d = \sqrt[3]{V_{атом}}\).
\[d = \sqrt[3]{1.705 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3} \approx 2.57 \cdot 10^{-10} \text{ м}\]
Число атомных слоёв \(k\) равно отношению общей толщины покрытия к диаметру одного атома:
\[k = \frac{h}{d} = \frac{15 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{2.57 \cdot 10^{-10} \text{ м}} \approx 5.84 \cdot 10^4\]
Ответ: Число атомных слоёв серебряного покрытия толщиной \(15 \text{ мкм}\) составляет примерно \(5.84 \cdot 10^4\).
7. Давление \(100 \text{ кПа}\) создаётся молекулами газа массой \(m_0 = 3 \cdot 10^{-26} \text{ кг}\) при концентрации \(n = 10^{25} \text{ м}^{-3}\). Чему равен средний квадрат скорости молекул?
Дано:
Давление \(P = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}\)
Масса молекулы \(m_0 = 3 \cdot 10^{-26} \text{ кг}\)
Концентрация молекул \(n = 10^{25} \text{ м}^{-3}\)
Найти:
\(\langle v^2 \rangle - ?\)
Решение:
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов связывает давление, концентрацию и средний квадрат скорости:
\[P = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle\]
Выразим из этой формулы средний квадрат скорости:
\[\langle v^2 \rangle = \frac{3P}{n m_0}\]
Подставляем значения:
\[\langle v^2 \rangle = \frac{3 \cdot 10^5 \text{ Па}}{10^{25} \text{ м}^{-3} \cdot 3 \cdot 10^{-26} \text{ кг}}\]
\[\langle v^2 \rangle = \frac{3 \cdot 10^5}{3 \cdot 10^{-1}} = 10^6 \text{ (м/с)}^2\]
Ответ: Средний квадрат скорости молекул равен \(10^6 \text{ (м/с)}^2\).
8. Под каким давлением находится газ в сосуде, если средний квадрат скорости его молекул \(10^6 \text{ (м/с)}^2\), концентрация молекул \(n = 3 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}\), масса каждой молекулы \(m_0 = 5 \cdot 10^{-26} \text{ кг}\)?
Дано:
Средний квадрат скорости \(\langle v^2 \rangle = 10^6 \text{ (м/с)}^2\)
Концентрация молекул \(n = 3 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}\)
Масса молекулы \(m_0 = 5 \cdot 10^{-26} \text{ кг}\)
Найти:
\(P - ?\)
Решение:
Используем основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:
\[P = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle\]
Подставляем значения:
\[P = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3} \cdot 5 \cdot 10^{-26} \text{ кг} \cdot 10^6 \