Решение задач №11, 12, 15, 16 по геометрии

Ниже представлено решение задач с чертежей 11, 12, 15 и 16 в соответствии с вашими требованиями к оформлению. Задача №11 ДАНО: \( \triangle PQR \), \( S \in PQ \), \( T \in PR \). \( \angle PSR = \angle PTQ \), \( PS = PT \). НАЙТИ: Пары равных треугольников. РЕШЕНИЕ: Рассмотрим треугольники \( \triangle PSR \) и \( \triangle PTQ \). 1. \( PS = PT \) (по условию). 2. \( \angle PSR = \angle PTQ \) (по условию). 3. \( \angle P \) — общий угол для обоих треугольников. Следовательно, \( \triangle PSR = \triangle PTQ \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). ОТВЕТ: \( \triangle PSR = \triangle PTQ \). Задача №12 ДАНО: \( BE = CE \), \( \angle BED = \angle CED \). Точки \( A, E, D \) лежат на одной прямой. НАЙТИ: Пары равных треугольников. РЕШЕНИЕ: Рассмотрим треугольники \( \triangle BEA \) и \( \triangle CEA \). 1. \( BE = CE \) (по условию). 2. Сторона \( AE \) — общая. 3. Так как \( \angle BED = \angle CED \), а углы \( \angle BEA \) и \( \angle BED \) являются смежными (также как \( \angle CEA \) и \( \angle CED \)), то: \( \angle BEA = 180^\circ - \angle BED \) \( \angle CEA = 180^\circ - \angle CED \) Следовательно, \( \angle BEA = \angle CEA \). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) \( \triangle BEA = \triangle CEA \). ОТВЕТ: \( \triangle BEA = \triangle CEA \). Задача №15 ДАНО: \( AE = BE \), \( \angle AED = \angle BED \). \( D \) — середина \( AB \), точки \( C, E, D \) лежат на одной прямой. НАЙТИ: Пары равных треугольников. РЕШЕНИЕ: Рассмотрим треугольники \( \triangle AEC \) и \( \triangle BEC \). 1. \( AE = BE \) (по условию). 2. Сторона \( EC \) — общая. 3. Углы \( \angle AEC \) и \( \angle BEC \) равны как смежные к равным углам \( \angle AED \) и \( \angle BED \): \( \angle AEC = 180^\circ - \angle AED \) \( \angle BEC = 180^\circ - \angle BED \) Значит, \( \triangle AEC = \triangle BEC \) по первому признаку. Из равенства треугольников следует, что \( AC = BC \). Рассмотрим \( \triangle ADC \) и \( \triangle BDC \): 1. \( AC = BC \). 2. \( AD = BD \) (так как \( D \) — середина). 3. \( CD \) — общая сторона. Значит, \( \triangle ADC = \triangle BDC \) по третьему признаку. ОТВЕТ: \( \triangle AEC = \triangle BEC \), \( \triangle ADC = \triangle BDC \), \( \triangle ADE = \triangle BDE \). Задача №16 ДАНО: \( KM = PM \), \( \angle KML = \angle PML \). Точки \( L, M, O \) лежат на одной прямой. НАЙТИ: Пары равных треугольников. РЕШЕНИЕ: Рассмотрим треугольники \( \triangle KMO \) и \( \triangle PMO \). 1. \( KM = PM \) (по условию). 2. Сторона \( MO \) — общая. 3. Углы \( \angle KMO \) и \( \angle PMO \) равны как смежные к равным углам \( \angle KML \) и \( \angle PML \): \( \angle KMO = 180^\circ - \angle KML \) \( \angle PMO = 180^\circ - \angle PML \) Следовательно, \( \triangle KMO = \triangle PMO \) по первому признаку. Из равенства треугольников следует, что \( KO = PO \) и \( \angle KOM = \angle POM \). Рассмотрим \( \triangle KOC \) и \( \triangle POC \) (где \( C \) — нижняя вершина): 1. \( KO = PO \). 2. \( OC \) — общая сторона. 3. \( \angle KOC = \angle POC = 90^\circ \) (так как смежные углы равны). Значит, \( \triangle KOC = \triangle POC \) по первому признаку. ОТВЕТ: \( \triangle KMO = \triangle PMO \), \( \triangle KOC = \triangle POC \).