Решение задачи линейного программирования графическим методом

Решим задачу линейного программирования графическим методом. Задача: Найти максимум функции \(F(x) = 2x_1 + x_2\) при следующих ограничениях: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 \le 8 \\ -4x_1 + 2x_2 \le 8 \\ x_1 - x_2 \le 2 \\ x_1, x_2 \ge 0 \end{cases} \] Шаг 1. Построим область допустимых решений. Для этого каждое неравенство заменим на равенство и построим соответствующие прямые. 1. \(x_1 + 2x_2 = 8\) * Если \(x_1 = 0\), то \(2x_2 = 8 \Rightarrow x_2 = 4\). Точка \((0, 4)\). * Если \(x_2 = 0\), то \(x_1 = 8\). Точка \((8, 0)\). Прямая проходит через точки \((0, 4)\) и \((8, 0)\). Для неравенства \(x_1 + 2x_2 \le 8\) возьмем пробную точку \((0, 0)\): \(0 + 2 \cdot 0 \le 8 \Rightarrow 0 \le 8\). Это верно, значит, область решений находится под этой прямой (в сторону начала координат). 2. \(-4x_1 + 2x_2 = 8\) * Если \(x_1 = 0\), то \(2x_2 = 8 \Rightarrow x_2 = 4\). Точка \((0, 4)\). * Если \(x_2 = 0\), то \(-4x_1 = 8 \Rightarrow x_1 = -2\). Точка \((-2, 0)\). Прямая проходит через точки \((0, 4)\) и \((-2, 0)\). Для неравенства \(-4x_1 + 2x_2 \le 8\) возьмем пробную точку \((0, 0)\): \(-4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \le 8 \Rightarrow 0 \le 8\). Это верно, значит, область решений находится под этой прямой (в сторону начала координат). 3. \(x_1 - x_2 = 2\) * Если \(x_1 = 0\), то \(-x_2 = 2 \Rightarrow x_2 = -2\). Точка \((0, -2)\). * Если \(x_2 = 0\), то \(x_1 = 2\). Точка \((2, 0)\). Прямая проходит через точки \((0, -2)\) и \((2, 0)\). Для неравенства \(x_1 - x_2 \le 2\) возьмем пробную точку \((0, 0)\): \(0 - 0 \le 2 \Rightarrow 0 \le 2\). Это верно, значит, область решений находится над этой прямой (в сторону начала координат). 4. \(x_1 \ge 0\) и \(x_2 \ge 0\) означают, что область допустимых решений находится в первом квадранте. Шаг 2. Найдем вершины области допустимых решений. Область допустимых решений - это многоугольник, ограниченный построенными прямыми и осями координат. Найдем координаты его вершин. * Вершина A: Пересечение прямой \(x_1 = 0\) и прямой \(-4x_1 + 2x_2 = 8\). Подставим \(x_1 = 0\) во второе уравнение: \(-4 \cdot 0 + 2x_2 = 8 \Rightarrow 2x_2 = 8 \Rightarrow x_2 = 4\). Вершина A: \((0, 4)\). * Вершина B: Пересечение прямой \(x_1 + 2x_2 = 8\) и прямой \(-4x_1 + 2x_2 = 8\). Вычтем второе уравнение из первого: \((x_1 + 2x_2) - (-4x_1 + 2x_2) = 8 - 8\) \(x_1 + 2x_2 + 4x_1 - 2x_2 = 0\) \(5x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 0\). Подставим \(x_1 = 0\) в первое уравнение: \(0 + 2x_2 = 8 \Rightarrow x_2 = 4\). Вершина B: \((0, 4)\). (Это та же точка A, что означает, что прямые пересекаются на оси \(x_2\)). Давайте перепроверим. Если \(x_1=0\), то \(2x_2=8 \Rightarrow x_2=4\). Точка \((0,4)\) лежит на обеих прямых. Это означает, что прямые \(x_1 + 2x_2 = 8\) и \(-4x_1 + 2x_2 = 8\) пересекаются в точке \((0, 4)\). Теперь найдем другие вершины. * Вершина C: Пересечение прямой \(x_1 + 2x_2 = 8\) и прямой \(x_1 - x_2 = 2\). Из второго уравнения выразим \(x_1\): \(x_1 = x_2 + 2\). Подставим в первое уравнение: \((x_2 + 2) + 2x_2 = 8\) \(3x_2 + 2 = 8\) \(3x_2 = 6\) \(x_2 = 2\). Тогда \(x_1 = 2 + 2 = 4\). Вершина C: \((4, 2)\). * Вершина D: Пересечение прямой \(x_1 - x_2 = 2\) и прямой \(x_2 = 0\). Подставим \(x_2 = 0\) в уравнение: \(x_1 - 0 = 2 \Rightarrow x_1 = 2\). Вершина D: \((2, 0)\). * Вершина E: Пересечение прямой \(x_1 = 0\) и прямой \(x_2 = 0\). Вершина E: \((0, 0)\). * Вершина F: Пересечение прямой \(-4x_1 + 2x_2 = 8\) и прямой \(x_1 = 0\). Это точка A \((0, 4)\). Итак, вершины многоугольника допустимых решений: A \((0, 4)\) C \((4, 2)\) D \((2, 0)\) E \((0, 0)\) Шаг 3. Вычислим значение целевой функции \(F(x) = 2x_1 + x_2\) в каждой вершине. * Для вершины A \((0, 4)\): \(F(0, 4) = 2 \cdot 0 + 4 = 4\). * Для вершины C \((4, 2)\): \(F(4, 2) = 2 \cdot 4 + 2 = 8 + 2 = 10\). * Для вершины D \((2, 0)\): \(F(2, 0) = 2 \cdot 2 + 0 = 4\). * Для вершины E \((0, 0)\): \(F(0, 0) = 2 \cdot 0 + 0 = 0\). Шаг 4. Найдем максимальное значение. Сравнивая значения функции в вершинах: \(4, 10, 4, 0\). Максимальное значение функции равно \(10\). Ответ: Максимальное значение целевой функции \(F(x) = 2x_1 + x_2\) равно \(10\) и достигается в точке \((4, 2)\).