Решение задачи: Нахождение высоты h

Дано: Точка \(A\): высота \(h_A = 5H\), скорость \(v_A = v\) Точка \(B\): высота \(h_B = H\), скорость \(v_B = 3v\) Точка \(C\): высота \(h_C = h\), скорость \(v_C = 2v\) Найти: \(h - ?\) Решение: Так как горка гладкая, трением пренебрегаем. Следовательно, выполняется закон сохранения полной механической энергии: \[E = mgh + \frac{mv^2}{2} = \text{const}\] 1) Запишем закон сохранения энергии для точек \(A\) и \(B\): \[mg(5H) + \frac{mv^2}{2} = mgH + \frac{m(3v)^2}{2}\] Сократим на \(m\): \[5gH + \frac{v^2}{2} = gH + \frac{9v^2}{2}\] Перенесем слагаемые с \(gH\) в левую часть, а с \(v^2\) в правую: \[4gH = \frac{8v^2}{2}\] \[4gH = 4v^2 \implies v^2 = gH\] 2) Теперь запишем закон сохранения энергии для точек \(B\) и \(C\): \[mgH + \frac{m(3v)^2}{2} = mgh + \frac{m(2v)^2}{2}\] Сократим на \(m\): \[gH + \frac{9v^2}{2} = gh + \frac{4v^2}{2}\] Выразим \(gh\): \[gh = gH + \frac{9v^2}{2} - \frac{4v^2}{2}\] \[gh = gH + \frac{5v^2}{2}\] 3) Подставим полученное ранее выражение \(v^2 = gH\) в уравнение для точки \(C\): \[gh = gH + \frac{5gH}{2}\] \[gh = gH + 2,5gH\] \[gh = 3,5gH\] Разделим на \(g\): \[h = 3,5H\] Ответ: 3,5H.